凸包

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凸包(Convex hull):弹性绳带的类比。

在一个实数向量空间中,对于给定集合,所有包含X的凸集交集被称为凸包

的凸包可以用内所有点线性组合来构造。

在二维欧几里得空间中,凸包可想象为一条刚好包着所有点的橡皮圈。

算法

增量式算法

逐次将点加入,然后检查之前的点是否在新的凸包上。由于每次都要检查所有之前的点,时间复杂度为

包裹法(Jarvis步进法)

首先由一点必定在凸包的点开始,例如最左的一点。然后选择点使得所有点都在的右方,这步骤的时间复杂度是,要比较所有点以为原点的极坐标角度。以为原点,重复这个步骤,依次找到。这总共有步。因此,时间复杂度为

葛立恒(Graham)扫描法

Graham scan.png

由最底的一点开始(如果有多个这样的点,那么选择最左边的),计算它跟其他各点的连线和x轴正向的角度,按小至大将这些点排序,称它们的对应点为。这里的时间复杂度可达

考虑最小的角度对应的点。若由的路径相对的路径是向右转的(可以想象一个人沿走到,他站在时,是向哪边改变方向),表示不可能是凸包上的一点,考虑下一点由的路径;否则就考虑的路径是否向右转……直到回到

这个算法的整体时间复杂度是,注意每点只会被考虑一次,而不像Jarvis步进法中会考虑多次。

这个算法由葛立恒在1972年发明。[1]它的缺点是不能推广到二维以上的情况。

单调链

将点按x坐标的值排列,再按y坐标的值排列。

选择x坐标为最小值的点,在这些点中找出y坐标的值最大和y坐标的值最小的点。对于x坐标为最大值也是这样处理。将两组点中y坐标值较小的点连起。在这条线段下的点,找出它们之中y坐标值最大的点,又在它们之间找x坐标值再最小和最大的点……如此类推。

时间复杂度是

分治法

将点集X分成两个不相交子集。求得两者的凸包后,计算这两个凸包的凸包,该凸包就是X的凸包。时间复杂度是

快包法(Akl-Toussaint启发式)

选择最左、最右、最上、最下的点,它们必组成一个凸四边形(或三角形)。这个四边形内的点必定不在凸包上。然后将其余的点按最接近的边分成四部分,再进行快包法(QuickHull)。

各种星形多面体的凸包

多面体名称 凸包
小星形十二面体 正二十面体
大十二面体 正二十面体
大星形十二面体 正十二面体
大二十面体 正十二面体

应用

参考

  1. ^ Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, 132-133

参见

外部链接