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大十二面体

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大十二面体
大十二面体
大十二面体
类别星形正多面体
对偶多面体小星形十二面体
识别
名称大十二面体
参考索引U35, C44, W21
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
施莱夫利符号{5,5/2}
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
52 | 2 5
性质
12
30
顶点12
欧拉特征数F=12, E=30, V=12 (χ=-6)
组成与布局
面的种类12个正五边形{5}
面的布局
英语Face configuration
V(5/2)5
顶点图(55)/2[1]
对称性
对称群Ih, H3, [5,3], *532
特性
顶点正、非凸
图像
Great dodecahedron vertfig.png
(55)/2[1]
顶点图
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面体
(对偶多面体)

几何学中,大十二面体[2]又称为第二星形正十二面体[3][4],是一个由6对互相平行正五边形组成的非凸正多面体,同时也是一种星形正多面体[5],其外形有如内有星形图案的正二十面体或每面内凹三角锥的正二十面体[6],是三种星形十二面体之一[4][3]。其顶点的布局与正二十面体相同,但边的连结方式不同,因此可以视为正二十面体经过刻面英语faceting后的多面体[2]对偶多面体小星形十二面体。这个多面体被认为是由路易·庞索英语Louis Poinsot在1810年发现[7][8],虽然在温佐·雅姆尼策尔英语Wenzel Jamnitzer于1568年出版的著作《Perspectiva Corporum Regularium》中有一幅形状非常类似大十二面体的图画[9]。1983年时,温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多星形多面体模型,其中也收录了此种形状,并给予编号W21[10]

性质

大十二面体是4个非凸正多面体之一,具二十面体的对称性[11],由12个面[12]、30条边和12个顶点所组成[13][14],其12个面皆为正五边形面,其中12个五边形中有6对互相平行的五边形。其每个顶角都是由5个五边形以五角星的路径构成的五面角,因此在施莱夫利符号中可利用{5,5/2}来表示[15],意为此立体的所有顶角组成的面皆为五边形(施莱夫利符号:{5}),并且以五角星(施莱夫利符号:{5/2})的方式构成。而在考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin digram中则利用CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png来表示[16]。在抽象几何学中,大十二面体对应到一个亏格为4的五阶五边形正则地区图(施莱夫利符号:{5,5}),同时,其对偶多面体小星形十二面体亦对应到相同的正则地区图[17],因此这个正则地区图是一个自身对偶的几何结构。[18]

星状图英语Stellation diagram 外观 星状核 凸包
Second stellation of dodecahedron facets.svg Second stellation of dodecahedron.png Dodecahedron.png
正十二面体
Icosahedron.png
正二十面体

面的组成

大十二面体由12个正五边形面组成,每个正五边形面都与另外5个正五边形面互相相交,因此,其面有一部分是隐没在图形内部的,如下左图,以白色表示,而露在外部的则以蓝色表示[5]

Great dodecahedron facets.svg
大十二面体的面
Pentagrammic-order pentagonal tiling (Great dodecahedron).png
同一个五边形面以同一种颜色标示

二面角

大十二面体是一种星形正多面体[19],因此大十二面体仅有一种二面角,其值为五平方根倒数的反余弦值[20]

顶点坐标

由于大十二面体的凸包正二十面体[2],且无顶点落在凸包内,因此大十二面体的顶点坐标会与相同边长的正二十面体相同,边长为单位长、几何中心在原点,则其为:[21]

图像

忽略隐没面后的展开图[14]
Grand Dodecaedre.jpg
透视模型 球面镶嵌
GreatDodecahedron.jpg
旋转动画
Great dodecahedron tiling.png
此多面体可以表示成一个密铺密度为3的球面镶嵌(将其中一个五边形面以表示)
展开图 星状图
Great dodecahedron net.png × 20
大十二面体可以转换成外观相同的简单多面体,此时,多面体变为由20个凹三角锥组成[6],因此可以展开成60个钝角等腰三角形。
Second stellation of dodecahedron facets.svg
其也等同于第二星形十二面体,其占据了星形十二面体的胞中,由内算来第二层的所有星形胞,温尼尔将其给予编号W21

使用

亚历山大之星
外部图片链接
image icon 动画《游戏人生》中星杯的外形[22]

星形正多面体经常出现在艺术创作中,部分小说也有使用大十二面体进行创作,如《游戏人生[23]。除了艺术创作外,常见文化也有关于大十二面体的使用,例如部分的魔术方块之外型[24],以及其投影图曾作为视觉化的相关实验性教材[25]

在常见文化中

在小说中

在计算机科学中

相关多面体与镶嵌

部分多面体与镶嵌与大十二面体有一些几何关联。例如部分多面体可透过大十二面体经过康威变换而得到,例如截角大十二面体截半大十二面体[27]、以及其对偶多面体小星形十二面体[21]

对偶多面体

大十二面体的对偶多面体[21]

大十二面体的对偶多面体同样是一个星形正多面体,为小星形十二面体[21],由12个五角星面组成[28]

康威变换的结果

部分多面体可透过大十二面体经过康威变换而得到,例如截角大十二面体,即截去大十二面体所有顶点后得到的立体[27][29]

名称 小星形十二面体 截角小星形十二面体 截半大十二面体 截角大十二面体 大十二面体

英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
图像 Small stellated dodecahedron.png Dodecahedron.png Dodecadodecahedron.png Great truncated dodecahedron.png Great dodecahedron.png

相关三角化多面体

大十二面体可以转换成外观相同的简单多面体,此时,多面体变为由20个凹三角锥组成[6],这时,其拓朴结构则与三角化二十面体相同,皆是在正二十面体的每个三角形面接上三角锥[30][31]

星形三角化二十面体 小三角六边形二十面体 三角化二十面体 正二十面体 大十二面体
Tetrahedra augmented icosahedron.png DU30 small triambic icosahedron.png Triakis icosahedron.png Uniform polyhedron-53-t2.svg Great dodecahedron.png

星形镶嵌图

其也可以视为一系列施莱夫利符号中可利用{n,n/2}表示的星形镶嵌之一,例如七阶七角星镶嵌[32][33]

星形多面体和镶嵌系列:(n2)n
对称群
*n32
[n,3]
球面镶嵌 平面镶嵌 双曲镶嵌 仿紧凑 非紧凑
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*932
[9,3]
*10 32
[10,3]...
*∞32
[∞,3]
 
[iπ/λ,3]
考克斯特纪号 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
星形
顶点
布局
Order-5 Pentagrammic tiling.png
(52)5
Tiling 6-2 6.png
(62)6
Hyperbolic tiling 7-2 7.png
(72)7
Order-8 octagrammic tiling.png
(82)8
Order-9 enneagrammic tiling.png
(92)9
Order-10 decagrammic tiling.png
(102)10
Infinite-order apeirogrammic tiling.png
(2)
(2)
Star polygon 5-2.svg Star polygon 6-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 8-2.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 10-2.svg
星形对偶
考克斯特纪号 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png
星形
顶点
布局
Pentagrammic-order pentagonal tiling (Great dodecahedron).png
(55)∕2
Hexagrammic-order hexagonal tiling.png
(66)∕2
Heptagrammic-order heptagonal tiling.png
(77)∕2
Octagrammic-order octagonal tiling.png
(88)∕2
Enneagrammic-order enneagonal tiling.png
(92)9
Decagrammic-order decagonal tiling.png
(102)10
Compound of two half-infinite-order apeirogonal tiling.pngApeirogrammic-order apeirogonal tiling.png
(偶数)(奇数)
()∕2
()∕2

对偶复合体

Compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron.png

大十二面体与其对偶的复合体为复合小星形十二面体大十二面体。其共有24个面、60条边和24个顶点,其尤拉示性数为-12,亏格为7[34],而在这个立体图形中,大十二面体完全隐没于小星形十二面体而不可见[35]

参见

参考文献

参考资料
  1. ^ Robert Webb. Great Dodecahedron. software3d.com. [2017-07-25]. (原始内容存档于2021-03-05). 
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参考书目
  1. Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. Coxeter, H. S. M. The Fifty-Nine Icosahedra. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. 1938. ISBN 0-387-90770-X.