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星形十二面体

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部分的星形十二面体
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面体
Great dodecahedron.png
大十二面体
Great stellated dodecahedron.png
大星形十二面体

在几何学中,星形十二面体是指正十二面体的星形化体,即把正十二面体的面和边沿伸直到向外相交成星形的立体。温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多星形多面体模型,其中也收录了一些星形十二面体[1]。目前已知共有三种星形十二面体[2],部分文献列出的正十二面体星形化体共有四种,其中包括了正十二面体本身和三种星形多面体,这三种都是正多面体,并且皆已被命名,其中有2种出现于艺术创作中,一种是大十二面体,出现于榎宫祐于2012年创作的小说《NO GAME NO LIFE 游戏人生》中[3],另一种是小星形十二面体,分别出现于莫里兹·柯尼利斯·艾雪于1950年创作的《Contrast (Order and Chaos)》以及1952年创作的《引力英语Gravitation (M. C. Escher)》中[4]、和保罗·乌切洛于1430年在威尼斯圣马尔谷圣殿宗主教座堂创作的镶嵌艺术中。

组成

星形十二面体为正十二面体面向外延伸的结果。

星形十二面体是指正十二面体的星形化体,其为将正十二面体的五边形面向外延伸直到相交成为星形的立体,第一次相交会形成五角星形状的立体,称为小星形十二面体;第二次向外延伸为将五角星凹处向外延伸直到变为五边形,所形成的立体为大十二面体;第三次延伸即为第二次延伸结果的五边形向外延伸成五角星,所形成的立体为大星形十二面体。每次延伸结果多出来的部分都称为星形十二面体的一个胞,在星状图中以两个的五角星,其中一个嵌入另一个五角星内部的图案表示[5]

Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg

种类

正十二面体透过胞规则可以产生4种星形十二面体[6];全部匹配则能产生的星形十二面体同样仅有4种[6],透过米勒的规则[7]可以亦同[6],其中这4种包括了正十二面体本身和3种星形多面体。[8]

列表

名称 对称群 图像 星状图
原像 正十二面体正图形 Ih Zeroth stellation of dodecahedron.png Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg
第一种 小星形十二面体正图形
(第一种星形十二面体)
Ih First stellation of dodecahedron.png First stellation of dodecahedron facets.svg
第二种 大十二面体正图形
(第二种星形十二面体)
Ih Second stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron facets.svg
第三种 大星形十二面体正图形
(第三种星形十二面体)
Ih Third stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron facets.svg

文化影响

星形十二面体的创作最早出现于文艺复兴时期的艺术中。在意大利圣马尔谷圣殿宗主教座堂的地板上,有以镶嵌艺术的方式在大理石的焦油石中描绘的小星形十二面体,通常被认为是1430年由保罗·乌切洛所创作。1568年温佐·雅姆尼策尔发表了一个木刻作品《Perspectiva Corporum Regularium》,中描绘了一个大十二面体大星形十二面体[9]

在近代,星形十二面体亦有出现于文化中,例如莫里兹·柯尼利斯·艾雪于1950年创作的《Contrast (Order and Chaos)》以及1952年创作的《引力英语Gravitation (M. C. Escher)》中[4]。亚当.亚历山大于1982年发明的一种魔方——亚历山大之星外型也是一种星形十二面体[9][10]榎宫祐于2012年创作的小说《NO GAME NO LIFE 游戏人生》中,唯一神持有的称作星杯之象征物件也是以星形十二面体做为外型[3];挪威艺术家Vebjørn Sand于在加勒穆恩奥斯陆机场展出的雕塑《The Kepler Star》是星形十二面体中的大星形十二面体、正二十面体和正十二面体的复合图形[9]。不过从这些艺术创作中无法得知艺术家是否真的具备相关几何学知识。[9]

星形五角十二面体

星形五角十二面体是指五角十二面体的星形化体。布拉托夫在其研究中列出了270种星形五角十二面体。[11][8]

参见

参考文献

  1. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. ^ George Hart. Stellations. georgehart.com. [2019-09-06]. (原始内容存档于2018-11-30). 
  3. ^ 3.0 3.1 榎宫祐. 《NO GAME NO LIFE 遊戲人生6》 聽說遊戲玩家夫妻向世界挑戰了. 2014-04-25: 第330-331页. EAN 4710945544663. 
  4. ^ 4.0 4.1 Locher, J. L. (2000). The Magic of M. C. Escher. Harry N. Abrams, Inc. ISBN 0-8109-6720-0
  5. ^ Jim Wilson. Dodecahedron Stellations. Mathematics Education, The University of Georgia. 2016-07-20 [2019-10-23]. (原始内容存档于2017-06-03). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Webb, R. "Enumeration of Stellations.". software3d.com. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-04-27). 
  7. ^ Guy's. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  8. ^ 8.0 8.1 Weisstein, Eric W. (编). Dodecahedron Stellations. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 Jim Wilson. Stellations of Dodecahedrons in Art and Culture. Mathematics Education, The University of Georgia. 2016-07-20 [2019-10-23]. (原始内容存档于2017-03-30). 
  10. ^ Jaap Scherphuis. Alexander's Star. [2019-10-23]. (原始内容存档于2018-04-11). 
  11. ^ V. Bulatov. Stellations of Pyritohedron (deformed dodecahedron). 1997 [2019-10-11]. (原始内容存档于2018-01-31). 

外部链接