榭赫倫實驗

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榭赫倫山的偏遠位置與對稱山形對實驗很有利

榭赫倫實驗(英語:Schiehallion Experiment)是十八世紀中,一次測量地球平均密度實驗。这次實驗的資金由皇家學會提供,而主實驗是在1774年夏季,於蘇格蘭珀斯郡(今珀斯-金羅斯)的榭赫倫山英语Schiehallion(Schiehallion)附近進行。這項實驗的主要用具是,藉由附近的山會對擺產生重力吸引的現象,於是當擺運動時,靠近山的一邊會有微小的偏角,也正為實驗所求。實驗中擺角偏移的大小,取決於地球與山的相對密度體積;因此,若可以確定榭赫倫山的密度,那麼,其結果便能確定地球的密度。由於當時已經確定太陽系中各天體(行星、它們的衛星太陽)的密度相對比值,所以只要知道地球的密度,科學家們就能估計出太陽系內各天體的密度近似值。於是,這項實驗產生了第一組天體密度數值。

雖然艾薩克·牛頓在以前曾考慮過同樣的實驗,以展示他的萬有引力定律,但最終由於測量困難的原因而決定放棄。然而,以當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林為首的一隊科學家,卻認為這樣的效應是可以測量的,並計劃進行這一個實驗。而促成這次實驗的一個原因是,在勘測梅森-狄克森線美國賓夕法尼亞州馬利蘭州特拉華州西維吉尼亞州間的一段邊界)時所注意到的單向偏倚。經過對候選山頭的初步調查,調查顯示榭赫倫山是進行實驗的理想地點,因為它擁有偏遠的位置與近乎對稱的山形。此外這個實驗還有另一項貢獻,就是實驗者首度使用了等高線來簡化勘測山的過程,即使現在製作地圖還是會用到這種表示方式。

背景

在對稱的引力場中,擺在靜止時會垂直向下。然而,如果附近有其他大質量的物體(例如一座山),那麼它的吸引力就會把擺的鉛錘,向它那邊拉過去,這樣擺就會稍微偏離垂直。而由某已知物體(例如恆星)所造成的鉛垂線角度偏移,則可以通過在山兩邊的各組對點上,對擺進行仔細的測量得出。通過判定山的體積,及估算山石的平均密度,這樣就能夠獨立地得出山的質量,再加上在那座山多處的偏角測量值,就能通過外推得出地球的平均密度,然後再使用平均密度來算出地球的質量。

艾薩克·牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中,曾考慮過這個效應[1],但卻悲觀地認為,地球上任何山所造成的偏角都太小,而難以測量[2]。他寫道,引力效應只能在行星的大小尺度下才看得到[2]。然而牛頓的悲觀是沒有根據的:雖然他的計算指出,偏角會小於2角分(對象是一座三英哩高的理想山),但是這個角度,儘管很小,還是在當時儀器的理論測量範圍之內[3]

任何一個測試牛頓萬有引力定律的實驗都有兩個作用:一、為該定律提供證據;二、為地球的質量與密度提供近似值。而對於天文物體的質量,由於已知的只有各天體間的相對質量比,所以只要知道地球質量的大小,就能知道其他天體質量的合理數值,這些天體包括行星、它們的衛星,還有太陽。雖然這項實驗的數據也能用於計算萬有引力常數G 的大小,但是這不是當時實驗者的目標;而G 最早的參考數值,則要再等幾乎一百年,才出現在科學文獻中[4]

尋找合适山体

欽博拉索山,1738年法國人實驗的對象。

1738年,欽博拉索山

一對法國天文學家,皮埃爾·布格(Pierre Bouguer)和夏爾·瑪麗·德·拉·孔達米納(Charles Marie de La Contamine),是最早進行這項實驗的人,而他們在1738年的實驗地為厄瓜多爾欽博拉索山[5],山高6,268米。當時他們的探險隊,為了測量一度緯度內的子午線弧長,而在1738年離開了法國,前往赤道上的南美洲,但是他們卻乘機進行了這項偏移實驗。1738年12月,他們在非常困難的地形和氣候下,於海拔4,680米和4,340米的地方,進行了兩次測量[6]。布格在1749年的一份論文上說他們量度到8角秒的偏移,但是他卻有意低估了這次結果的重要性,還說這項實驗應該在條件較好英國或法國進行[3][6]。他還補充說,這次實驗最少證明了,地球不可能是空殼。當時有思想家認為地球可能是空的,當中包括了愛德蒙·哈雷[5]

1774年,榭赫倫山

蘭洛克湖望過去,可見榭赫倫山對稱的山脊。

當時的皇家天文學家內維爾·馬斯基林於1772年向皇家學會提出,應該再多進行一次這項實驗[7]。他還說這實驗會“為進行它的國家帶來榮耀”[3],更提出兩處適合的實驗地:約克郡渾塞德峰(Whernside),及坎伯蘭布倫卡思拉-斯克道(Blencathra-Skiddaw)古地塊。為此,皇家學會組成了引力委員會,來考慮這件事,委員包括馬斯基林、約瑟夫·班克斯本傑明·富蘭克林[8]。為了找到一座適合實驗的山,於是委員會派遣天文學家兼測量學家查理斯·梅森[谁?]去進行調查。

經過1773年夏季的漫長搜尋後,梅森回報說最佳的候選地是榭赫倫山(Schiehallion,當時寫法為Schehallien),它位處蘇格蘭高地的中央,在泰湖蘭洛湖(Loch Rannoch)之間,山高1,083米[8]。山的聳立之處看起來像被其他山孤立,而且附近的山離它都不太近,這樣它們對實驗的引力影響會較低,加上榭赫倫山的山脊東西對稱,這樣會簡化計算。還有它陡峭的南北山脊離山的重心很近,這樣會使偏移最大化。

然而,梅森拒絕以每天一堅尼的工資,自己執行是次實驗[8] 。於是這個任務就落在馬斯基林的手中,因此他被批准暫時卸下皇家天文學家的職務。為了執行這次任務,他有兩名副手,數學家兼測量學家查理斯·赫頓(Charles Hutton),和任職於皇家格林尼治天文台的數學家魯賓·巴羅(Reuben Burrow)。另外還僱有一隊勞工,負責興建天文學家的觀測站,和協助勘測。科學隊伍的配備齊全且精良:包括30厘米的黃銅象限儀,1769年庫克船長出航觀測金星凌日時就有帶它;3米長的天頂儀,還有一座準確的擺鐘,用於為天文觀測所需的時間測定[9]。為了勘測山體,他們還取得了經緯儀甘特鏈和一對氣壓計,用於量度海拔[9]。而且當時,皇家學會能夠為實驗提供豐厚的撥款,因為英皇將之前考察金星凌日的撥款餘額,交付了給學會[1][3]

測量

天文

圖中,Z為通過天體測量學所得的真天頂Z'則為由鉛垂確定的視天頂,而實驗要測量的偏角就兩者間的差。

為了這項實驗,團隊在山的南北麓各興建了一所觀測站,還興建了一座簡陋的小屋,作裝備儲藏及科學家住宿之用[6]。而大部份勞工則住在用帆布搭建的帳篷中。最早進行的是馬斯基林的天文測量。為了實驗,他必須測定出鉛垂的天頂距離,這個測量需要利用天上的一組星,而在量度時星必須通過正南線[3][10][11]。由於起霧和下雨的關係,所以天氣狀況並不理想。然而,馬斯基林還是在南觀測站,成功向某方向的34顆星作了76次測量,還有向另一方向的39顆星作了93次。之後,他到了北觀測站,再向一組32顆星作了68次測量,又向另一組37顆星作了100次[6]。他在測量時把天頂儀的平面朝向東方,然後轉往西方再測量,這樣他成功地避開了儀器小口徑化所帶來的系統誤差[1]

為了判定山所造成的偏移,有必要考慮地球表面的彎曲:當緯度不同時,當地的觀測者會發現天頂的位置不同,其偏移角度與緯度變化的度數一致。另外觀測時還會遇上各種不同的效應,例如進動光行差章動,在考慮過這些效應之後,馬斯基林指出,榭赫倫山南與山北的可見天頂,兩者間的偏角為54.6角秒[6]。之後,勘測隊伍交上了他們對南北觀測站緯度差的結果,為42.94角秒,於是馬斯基林把這個數值和他的天頂偏角值相減,再將數值按他的測量準確度整數化,他宣佈南北兩地的鉛垂偏角和為11.6角秒[3][6][12]

馬斯基林將他的初步結果發表於1775年的《自然科學會報[12],當中他用了初測時的山形數據,以及用這組數據推算出的重心位置。根據這組數據,馬斯基林認為,假如榭赫倫山的平均密度與地球一样,那麼鉛垂偏角應為20.9角秒[3][13]。由於實驗結果約為上述角度的一半,所以馬斯基林能初步宣佈,地球的平均密度約為榭赫倫山的兩倍。更準確的結果,需要等到勘測過程完工後才會有[12]

此外,馬斯基林還乘機指出,榭赫倫山表現出引力,因此所有山都有引力;而且牛頓的引力反平方定律也被確認了[12][14]。皇家學會對馬斯基林的研究表示欣賞,並將1775年的科普利獎章授予馬斯基林;傳記家亞歷山大·查爾摩斯(Alexander Chalmers)寫道:“如果還有任何對牛頓系統真實性的懷疑,那麼它們現在全部都被除去了。”[15]

勘測

勘測隊伍的工作進度,被持續惡劣的天氣大幅延誤,直至1776年才完成勘測[13]。為找出山的體積,計算時需要把山分成一組垂直的柱體,然後計算每一個柱體的體積。三角測量的工作由赫頓負責,而這是一項工作量很大的測量:勘測員需要在山的周圍,超過一千個點上,一共量出數以千計的方位角[16]。此外,計算用柱體的頂點,並不一定會便利地落在勘測的高度上。為了理解全部數據,他決定使用內插法,在各測量值間放置一系列的線,線之間的高度差固定,線上的點都位於等高的位置。這樣做的話,他不但可以簡單地判定柱體的高度,而且能從線的迴旋度立刻得知地形的形式。就是這樣,赫頓首創了等高線,從那時起這項發明就廣泛應用於地形圖的繪製[6][16]

赫頓的太陽系密度表
天體 密度(kg·m−3
1778年赫頓[17] 現代值[18]
太陽 1,100 1,408
水星 9,200 5,427
金星 5,800 5,204
地球 4,500 5,515
月球 3,100 3,340
火星 3,300 3,934
木星 1,100 1,326
土星   410   687

赫頓必須計算出眾多格子上每一個柱體所造成的個別引力作用,而這項計算的工作量,跟勘測本身相差無幾。在測量完成後,這項工作再花了他兩年的時間,才能發表實驗結果,最後他在1778年向皇家學會提交了一份一百頁的報告論文[17]。假設地球與榭赫倫山的平均密度一致,他發現地球對鉛錘的吸引力,比在南北觀測站所得的吸引力和,要大9,933倍[16]。在考慮過緯度對地球引力的影響後,實際的擺偏角11.6"對應的比值為17,804:1 ,由於擺偏角的值為實驗值,所以赫頓能夠寫下,地球的密度值為榭赫倫山的倍,或約[13][16][17]。因此漫長的勘測過程,並沒有太大地影響馬斯基林的計算結果。赫頓取榭赫倫山的密度值為 2,500 kg·m−3 ,並宣佈地球的密度值為它的倍,即 4,500 kg·m−3 [16]。對比現在所採納的數值, 5,515 kg·m−3 [18],當時地球密度值的誤差小於20%。

由於地球的平均密度,比表面的石塊的密度要大得多,因此這很自然地意味着,地球的內部埋藏着密度更高的材質。赫頓正確地推測出,核心物質很有可能是金屬,密度值為 10,000 kg·m−3 [16]。他估算出這金屬部份,大概佔地球直徑的65%[17]。有了地球平均密度的數值,再加上熱羅姆·拉朗德的行星天文表,赫頓能夠計算出太陽系內各天體的密度值(見右表),而在這之前,有的只是各天體密度間的相對比值[17]

實驗重新操作

在榭赫倫實驗後的24年後,出現了一種更直接且更準確的方法,來量度地球的平均密度,亨利·卡文迪什於1798年用一個靈敏度極高的扭秤,來量度兩個大球間的引力作用。卡文迪什得出的數值為 5,448 ± 0.033 kg·m−3 ,跟現代數值的 5,515 kg·m−3 ,只差1.2%,數值自卡文迪什後一直沒有太大的改進,這個狀況要到1895年才由查理斯·博伊斯(Charles Boys)改變[19]。卡文迪什進行實驗時的用心,與實驗的準確度,使得他的名字一開始就跟這項實驗聯繫了起來[20]

約翰·普萊費爾於1811年對榭赫倫山進行了第二次勘測:基於他對那兒石地層的新認知,於是他提出地球的密度值應在4,560至 4,870 kg·m−3 之間[21],但當時年邁的赫頓在1821年一份提交皇家學會的論文中,還堅決地為自己的原數值辯護[3][22] 。而普雷費爾的計算,使密度值更接近現代的數值,但是仍然太低,而且還比十多年前卡文迪什的數值要差得多。

位於愛丁堡亞瑟王寶座峰,是亨利·詹姆斯在1856年的實驗場所。

亨利·詹姆斯於1856年重做了榭赫倫實驗,他是當時英國地形測量局的局長,而實驗地則改在愛丁堡中央的亞瑟王寶座峰(Arthur's seat)[6][11][23]。運用測量局的資源,詹姆斯把他的測量範圍擴大至半徑21千米,到達中洛錫安的邊界。而他得出的地球密度數值為 5,300 kg·m−3 [3][13]

而2005年進行的一次實驗,與1774年的實驗有些許不同:該實驗不再測量天頂的當地觀測差,而測量擺在榭赫倫山上及山下時的週期差,實驗能非常準確地測量到這一點。而擺的週期則是g函數g是當地的重力加速度。雖然擺在海拔高時速度會較慢,但是山的質量會使這個差減少。相以之下,這個實驗的優點是,進行起來要比1774年的簡單得多,但是還是能夠得到所需的準確度,不過就需要把擺的週期量度至其一百萬分之一[10] 。而這項實驗得到地球質量值為 8.1 ± 2.4×1024 kg [24],其對應平均密度值為 7,500 ± 1,900 kg·m−3

如果用現代方法來重新研究地球物理數據,就可以顧及到1774年實驗隊伍所未能考慮的因素。由於有了直徑120公里的數字地面模型,所以對榭赫倫山的地質知識也被大幅改進,再加上電腦帶來的好處,2007年的一份報告得出的地球平均密度值為 5,480 ± 250 kg·m−3 [25]。當與現代值的 5,515 kg·m−3 比較,再比較2007年的數值,就可見當年馬斯基林天文測量的準確度之高[25]

數學步驟

榭赫倫實驗的力圖

榭赫倫實驗的力圖如右,其中偏角被大幅度誇大。分析時只考慮山一邊的吸引力,這樣分析會簡單得多[21]。設山的質量及密度分別為MMρM,其質心則為P,一質量為m的鉛錘,被置於離P點距離為d的地方。由於山的吸引力F,鉛錘輕微向P偏移,擺繩與垂直向地的重量W間的角度,為小偏角θWF向量和,構成擺繩中的張力T。又設地球的質量為ME,半徑為rE及密度為ρE

作用於鉛錘的兩股引力,可由牛頓萬有引力定律求得:

其中G牛頓萬有引力常數。取FW間的比值,此時Gm會被除去:

其中VMVE為山及地球的體積。在靜力平衡下,擺繩張力的垂直及水平分量,可由引力及偏角θ表示:

代入T,得:

其中已知VEVMdrE,而實驗測量了θ,於是代入各數值,可用下式計算出ρE : ρM 的值[21]

在1774年實驗中,使用了南北觀測站,其數學分析仍與上面的單邊分析相近。在雙邊時,可將 的表達式寫兩次:一次為北站的,一次為南站的,兩式相加後使用小角近似(),整理右方可得[25]

代入(地球半徑當時是已知的),得

其中由勘測所得,附上引力常數的原因是當時並未有這個概念。

註釋

^ 注解一:當時位於秘魯副王區
^ 注解二:梅森之前曾和傑里邁亞·狄克森(Jeremiah Dixon),在美國國土上標記了梅森-狄克森線,這條線把當時的美國分成南北兩部份。
^ 注解三:原建築現已被摧毀,但在山邊還是可以找到它們殘存的部份。
^ 注解四:嚴格來說,這是一項重新創作:愛德蒙·哈雷在1701年畫出了標記等量磁偏移的線(等磁偏線),荷蘭地圖學家尼科拉斯·克雷克(Nicolaas Kruik)在1727年也畫出了標記等深度的線(等深線)。
^ 注解五:在卡文迪許的論文上,其值為

5,480 kg·m−3 。但是他算錯了:他的測量數據實際上指向 5,448 kg·m−3 這個值;直到1821年,才由弗朗西斯·貝利找到這個錯誤。

^ 注解六:所用的地球體積值為1.0832×1012 km3

參考資料

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