在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

a,b,c是某三角形的三邊長，且abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)，則該三角形必然是正三角形嗎？

(正三角形顯然滿足這個等式，但滿足這個等式者必然是正三角形嗎？)

根據算幾不等式，abc≥(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)，當等號成立時a=b=c。

請問要怎麼從算幾不等式推出abc≥(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)呢？

(a+c-b+a+b-c)/2≥√[(a+c-b)(a+b-c)]⇒a≥√[(a+c-b)(a+b-c)]

謝謝！這個方法比我預想的方法還漂亮。

題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的，所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

我幾天前想到另一個方法，不見得比使用算幾不等式簡潔或漂亮，但總之是一個方法：

(a+b-c)(a+c-b)=[a+(b-c)]*[a-(b-c)]=a²-(b-c)²≦a²......因為(b-c)²非負

等號成立於(b-c)²=0，即b=c時。

同理，

(b+a-c)(b+c-a)≦b²，等號成立於a=c時

(c+a-b)(c+b-a)≦c²，等號成立於a=b時

三式相乘，再兩邊開根號，得

(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)≦abc，等號成立於a=b=c時