在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

遞迴數列：$n$為整數，$F_{1}=F_{2}=1$，$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

由此可知

$F_{1},F_{2},F_{3},\cdots$依序是1,1,2,3,5,8,13,21......

$F_{0}$是0

$F_{-1},F_{-2},F_{-3},\cdots$依序是1,-1,2,-3,5,-8,13,-21......

請問如何證明「$\left|(F_{n})^{2}-F_{n-m}\cdot F_{n+m}\right|=(F_{m})^{2}$，其中$m$是非負整數」？謝謝！

例如$n=12,m=7$時，$\left|(F_{12})^{2}-F_{5}\cdot F_{19}\right|=\left|144^{2}-5\cdot 4181\right|=13^{2}=(F_{7})^{2}$

又例如$n=4,m=10$時，$\left|(F_{4})^{2}-F_{-6}\cdot F_{14}\right|=\left|3^{2}-(-8)\cdot 377\right|=55^{2}=(F_{10})^{2}$

https://proofwiki.org/wiki/Catalan%27s_Identity

Proof 2是不是開宗明義規定n、r、(n-r)都是正整數，限制了"F_非正整數"的出現？這與在下所問不符。

用$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$可以把它擴展至n、r、(n-r)當中有非正整數的情況。