勾股数,又名商高数或毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)“
”之中,
的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。
如果
是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即
也是勾股数。若果
三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数或本原勾股数组。
找出素勾股数
以下的方法可用来找出素勾股数。设
、
和
均是正整数,
![{\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c8a0bdacafad1dbf2b6ab213f9c241ce266e88)
![{\displaystyle b=2mn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6453fe4f2b30caff73d34afbdd8da1edc95d48f3)
![{\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4269272d3a068ea2d40f4620091aa78a9929f2)
若
和
是互质,而且
和
为一奇一偶,计算出来的
就是素勾股数。(若
和
都是奇数,
就会全是偶数,不符合互质。)
所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。
例子
以下是小于 100 的素勾股数:
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) |
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3) |
|
3 |
4 |
5
|
5 |
12 |
13
|
7 |
24 |
25
|
8 |
15 |
17
|
9 |
40 |
41
|
11 |
60 |
61
|
12 |
35 |
37
|
13 |
84 |
85
|
16 |
63 |
65
|
20 |
21 |
29
|
28 |
45 |
53
|
33 |
56 |
65
|
36 |
77 |
85
|
39 |
80 |
89
|
48 |
55 |
73
|
65 |
72 |
97
|
有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现:
与
。
其中最先例子是5,它在以下两组勾股数之中出现
及
。
在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:
![{\displaystyle 1229779565176982820}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda38073b3c4abfd585cf61d0240e360591ea75)
![{\displaystyle 1230126649417435981}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a0ecd3edd4ec5324a2542104598ddc45c48d00)
![{\displaystyle 1739416382736996181}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d330c97d3c13306c961e552da18768b3f3cf24)
与
![{\displaystyle 1229779565176982820}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda38073b3c4abfd585cf61d0240e360591ea75)
![{\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e1ddeef84cd8e8163a4b49769d43199895ea91)
![{\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a58eaa63b03fa8ce2005956fffbb318fe76f0d)
试考虑它的素因数分解
![{\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38930899b1cebae001a7c5e74dc89bfceb52ae3)
它素因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。
性质
对于本原勾股数组
,
,我们有
两两互素
其中一个是3的倍数
其中一个是4的倍数
其中一个是5的倍数
对于第二、三、四条性质的证明:
利用完全平方数
若
都不是3的倍数,则
,导致
矛盾,所以
一定有且只有一个数是3的倍数。
因为
是本原勾股数组,所以必有
一奇一偶。不妨设
为奇数,
为偶数,这时候对
两边同时
,则会得到
,故
,所以
一定有且只有一个数是4的倍数。
利用完全平方数
若
都不是5的倍数,则
或
或
,而
或
,矛盾,所以
一定有且只有一个数是5的倍数。
证毕。
找寻勾股数的小技巧
若需要一组最小数为奇数的勾股数,可任意选取一个 3 或以上的奇数,将该数自乘为平方数,除以 2,答案加减 0.5 可得到两个新的数字,这两个数字连同一开始选取的奇数,三者必定形成一组勾股数[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能,例如
并非是以 27 为起首的唯一勾股数,因为存在另一个勾股数是
,同样也以 27 为首。
对于任何大于1的整数
,
、
与
,三个数必为勾股数[1],例如:代入
为2,则
为5,
为3,
为4,
为一组勾股数。
推广
费马最后定理指出,若
,而
是大于 2 的整数,
即没有正整数解。
参见
外部链接
- ^ 1.0 1.1 宋蕙君; 陈柏扬; 谢明君. 〈哇!這是什麼 5,4,3 啊!〉 (PDF). 桃园县立大竹国民中学. 中华民国第四十八届中小学科学展览会. 2008年. (原始内容 (PDF)存档于2022-10-12).