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四进制

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四进制是以4底数进位制,以 0123 四个数字表示任何实数

四进制与所有固定底数记数系统有著很多共同的属性,比如以标准的形式表示任何实数的能力(近乎独特),以及表示有理数无理数的特性。有关属性的讨论可参考十进制二进制

与二进制的关系

八进制十六进制记数系统一样,四进制二进制有著一种特别的关系:各底数包括 4816 均为 2,故此,四进制八进制十六进制,与二进制之间的换算技术,乃是一个数位对两个、三个或四个二进制位或位元来进行换算。例如在四进制:

3221(4) = 11101001(2)

在二进制运算和逻辑的讨论和分析中,八进制和十六进制广泛应用于电脑技术程式设计范畴,而四进制却并不然。

希尔伯特曲线

然而,四进制数字有用于表示二维希尔伯特曲线:把位于 01 之间的实数转换到四进制系统,指示各自四个子象限的各个个别数位就会给显示出来,并不断循环。

Qua
(四进)
Bin
(二进)
Dec
(十进)
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
10 0100 4
11 0101 5
12 0110 6
13 0111 7
20 1000 8
21 1001 9
22 1010 10
23 1011 11
30 1100 12
31 1101 13
32 1110 14
33 1111 15

人类语言

在众多甚至所有丘马什语系英语Chumashan languages中原来均使用四进制记数,即数字的读法结构均为 416(而非 10)。而在约1819年,一位西班牙神父也有记录了大至32的Ventureño语英语Ventureño language数字的存活纪录。[1]

视觉展示

图1:四进制数字视觉化排序

使用三种有色圆形(1为蓝色,2为绿色,3为白色,0为)及五档位置即可以视觉化形式显示由 01023 的任何数字。下列图表是对图1的解读。

对应表

标准四进制中的数字 0 到 64(0 到 1000)
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
四进制 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33
八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
二进制 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
四进制 100 101 102 103 110 111 112 113 120 121 122 123 130 131 132 133
八进制 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37
十六进制 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
十进制 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
二进制 100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
四进制 200 201 202 203 210 211 212 213 220 221 222 223 230 231 232 233
八进制 40 41 42 43 44 45 46 47 50 51 52 53 54 55 56 57
十六进制 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
十进制 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
二进制 110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111 111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
四进制 300 301 302 303 310 311 312 313 320 321 322 323 330 331 332 333
八进制 60 61 62 63 64 65 66 67 70 71 72 73 74 75 76 77
十六进制 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F

例(四进制→十进制):

分数

由于只有2的因数,许多四进制分数具有重复数字,尽管这些分数往往相当“小”:

十进制基数
Prime factors of the base: 2, 5
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 7 13 17 19 23 29 31
四进制基数
Prime factors of the base: 2
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 13 23 31 101 103 113 131 133
分数 分母 分母 分数
1/2 2 0.5 0.2 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.1111... = 0.1 3 1/3
1/4 2 0.25 0.1 2 1/10
1/5 5 0.2 0.03 11 1/11
1/6 2, 3 0.16 0.02 2, 3 1/12
1/7 7 0.142857 0.021 13 1/13
1/8 2 0.125 0.02 2 1/20
1/9 3 0.1 0.013 3 1/21
1/10 2, 5 0.1 0.012 2, 11 1/22
1/11 11 0.09 0.01131 23 1/23
1/12 2, 3 0.083 0.01 2, 3 1/30
1/13 13 0.076923 0.010323 31 1/31
1/14 2, 7 0.0714285 0.0102 2, 13 1/32
1/15 3, 5 0.06 0.01 3, 11 1/33
1/16 2 0.0625 0.01 2 1/100
1/17 17 0.0588235294117647 0.0033 101 1/101
1/18 2, 3 0.05 0.0032 2, 3 1/102
1/19 19 0.052631578947368421 0.003113211 103 1/103
1/20 2, 5 0.05 0.003 2, 11 1/110
1/21 3, 7 0.047619 0.003 3, 13 1/111
1/22 2, 11 0.045 0.002322 2, 23 1/112
1/23 23 0.0434782608695652173913 0.00230201121 113 1/113
1/24 2, 3 0.0416 0.002 2, 3 1/120
1/25 5 0.04 0.0022033113 11 1/121
1/26 2, 13 0.0384615 0.0021312 2, 31 1/122
1/27 3 0.037 0.002113231 3 1/123
1/28 2, 7 0.03571428 0.0021 2, 13 1/130
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0.00203103313023 131 1/131
1/30 2, 3, 5 0.03 0.002 2, 3, 11 1/132
1/31 31 0.032258064516129 0.00201 133 1/133
1/32 2 0.03125 0.002 2 1/200
1/33 3, 11 0.03 0.00133 3, 23 1/201
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0.00132 2, 101 1/202
1/35 5, 7 0.0285714 0.001311 11, 13 1/203
1/36 2, 3 0.027 0.0013 2, 3 1/210

遗传学

四进制和以脱氧核糖核酸 (DNA) 表示的遗传密码,两者之间的位值记录方式可以相互呼应。四种脱氧核糖核酸核苷酸的简称按字母先后次序排列,分别为A(Adenine;腺嘌呤)、C(Cytosine;胞嘧啶)、G(Guanine;鸟嘌呤)及 T(Thymine;胸腺嘧啶),可用作表示四进制数字,按先后次序排列为 0123。在此编码下,互补数字配对 0↔3 及 1↔2 (二进制为 00↔11 及 01↔10) ,与碱基对的互补配对 A↔T 及 C↔G 吻合。

比方说,核苷酸序列GATTACA可以四进制数字2033010表示(十进制为9156)。

可是亦有争议指,脱氧核糖核酸应以二进制表示,而非四进制,理由是“在核苷酸的配对中,A(Adenine;腺嘌呤)只能与T(Thymine;胸腺嘧啶)配对,而C(Cytosine;胞嘧啶)只能与G(Guanine;鸟嘌呤)配对。C不能与AT和自己配对,A又不能与CG和自己配对。简单来说,核苷酸的配对只存在两种状况,如同在电脑使用的二进制。”。[2]可是,另一方面核苷酸的配搭形式可是A↔T也可是其反转T↔A,可是C↔G也可是其反转G↔C,形成两种配搭状况、四种配搭形式,因此也有观点认为脱氧核糖核酸应以四进制表示,后者才是正确的观点。[2]

数据传输

四进制的线路码也有在数据传输应用到。从电报发明伊始,到当代电话通讯的综合业务数字网线路中,一直用上了2B1Q英语2B1Q(双二进位对一四进位)编码,在传输讯号时以四种电压代表四个不同的一组双位元讯号状况(“10”以+450 mV表示;“11”以+150 mV表示;“01”以-150 mV表示;“00”以-450 mV表示)。

参考资料

  1. ^ "Chumashan Numerals",由Madison S. Beeler著作,刊于Native American Mathematics,由Michael P. Closs (1986)编辑,国际标准书号 0-292-75531-7。
  2. ^ 2.0 2.1 http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20091102135615AA2Cqbv. [2009-11-04]. (原始内容存档于2021-04-21).  外部链接存在于|title= (帮助)

延伸阅读

外部链接