一元二次多項式的判別式
與其函數圖像之間的關係
判別式是代數學中的概念,它可以推斷出一個實係數或復係數多項式的根的屬性。
當多項式的係數不是實數或複數域時,同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時,判別式為零當且僅當多項式在它的分裂域中有重根。判別式的通常形式為:
![{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30986cb6567792514bf307029bfc7596306d02e)
其中的
是多項式的最高次項係數,
是多項式在某個分裂域中的根(如有重根的按重數重複排列)。
判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構,比如說圓錐曲線、二次型和代數數域中。在代數數論中,判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上,愈為幾何的分歧類型對應着愈為抽象的判別式類型,因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。
定義
二次方程的判別式
最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程
,其中係數
為實數,則它的判別式定義為:
![{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c46f2a04da65c536ccdb10eb6e854fa52570d41)
判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為
和
,那麼根據二次方程的求根公式,兩個根可以表示為:
![{\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1569e9a4fec4adef43b329a36ef75894ad1184b)
方程的根與判別式的關係為:
![{\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b9bed92b9bf3a33257407318f4ccb55ccb8328)
兩個根都是實數,當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時,判別式等於零。如果判別式小於零,則兩根是共軛的複數。
三次方程的判別式
- 三次多項式
的判別式是
![{\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521a11a50ae904743ab3d0dfabefa61b1068c3b7)
- 二次項系數為零的首一三次多項式
的判別式是:
![{\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e631013a82ecc075926b8ab5a425b1ffedbce7)
四次方程的判別式
- 四次多項式
的判別式是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1c245772120889c329618d2a674d15ee6c1aad)
二次判別式
二次多項式
的判別式是
。在一元二次方程的求解中,判別式用來判斷方程根的情況,並出現在根的表達式中。
- 如果
,那麼
有兩個相異實根
,即
的圖像穿過
軸兩次。
- 如果
,那麼
有兩個相等實根
,
的圖像與
軸相切。
- 如果
,那麼
沒有實根,即
的圖像與
軸沒有交點。
一般多項式的判別式
對於一般的一個多項式
,
其判別式等於(差一個係數)以下的
的矩陣的行列式(見西爾維斯特矩陣):
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850271ea2587bd035369049a4e12394d7017f31a)
這個矩陣的行列式稱為
和
的結式,記為
。
的判別式
由以下公式給出:
.
例如,在
的情況下,以上的行列式是:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8646b156053739eaf8d3ff2c83259c76030af914)
這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以
。
作為等價條件,多項式的判別式等於:
![{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30986cb6567792514bf307029bfc7596306d02e)
其中
是多項式
的複根(重根按重數計算):
![{\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d896fb316a96b8429ad1e7c416820afb8789a5)
在這個表達式中可以清楚地看到
有重根當且僅當判別式為零。
多項式的判別式可以在任意的域中定義,定義方式一樣。帶有根
的表達式仍然有效,只是根要在係數域的某個分裂域中取。
圓錐曲線的判別式
對於以下多項式所定義的圓錐曲線:
![{\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81d1a2e5d06c8802eda5be83ac2f53113babca1)
它的判別式為:
![{\displaystyle b^{2}-4ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2c88a48e0087a5786b460b2e856d118b5e23ab)
它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0,則是橢圓或圓。如果判別式等於0,則是一條拋物線。如果大於0,則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形(當這個多項式可以因式分解時)。
二次型的判別式
判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和:
![{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f8b157279e068fbf32706d4f05e323610e96b9)
其中Li是n個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有ai的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式。
代數數域的判別式
參見
參考資料與外部連結