利薩茹曲線

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示波器上的利薩茹圖形
三維利薩茹圖形

數學上,利薩茹Lissajous曲線(又稱利薩茹圖形李薩如圖形鮑迪奇Bowditch曲線)是兩個沿着互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。

納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。

數學定義

利薩茹曲線由以下參數方程定義:

其中

稱為曲線的參數,是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數,則,參數方程可以寫作:

其中

性質

  • 為無理數,曲線在長方形稠密
  • 為有理數,
    • 曲線是代數曲線對奇數,或對偶數
    • 曲線是代數曲線的一部份若對奇數,或對偶數
  • 為偶數而,或若為奇數而,則曲線是第切比雪夫多項式的曲線的一部份。

特別情況

  • ,則曲線是橢圓
    • ,則這橢圓其實是
    • ,則這橢圓其實是線段。
  • (所以),則曲線是besace
    • ,則這besace是拋物線一部份。
    • ,則這besace是一個熱羅諾雙紐線

以下是利薩茹曲線的例子,其中, 是奇數,是偶數,

頻率比1:n和n:1的情況

Δφ 1:1 1:2 1:3 2:1
0

¹/₄·π

¹/₂·π

³/₄·π

1·π

1¹/₄·π

1¹/₂·π

1³/₄·π

2·π

頻率比n1:n2的情況

Δφ 2:3 Δφ 3:4
0 0
¹/₂·¹/₄·π ¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π ¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π ¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π ¹/₃·π
5/8·π 5/12·π
³/₄·π ¹/₂·π
7/8·π 7/12·π
1·π ²/₃·π

演示

鼠標懸浮在兩個數字上時,通過滾輪可以調節數字大小。


在電子學上的應用

藉由使用利薩茹圖形可以測量出兩個信號頻率比與相位差。

外部連結