代數拓撲中,萬有係數定理建立了同調群(或上同調群)與不同係數的關係。例如,對每個拓撲空間X,其整同調群是:
![{\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba42b02b65dd2ae189845021a0fd096d2ec93d9c)
對任何阿貝爾群A,都能完全確定其係數在A中的同調群:
![{\displaystyle H_{i}(X;\ A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8db584f2b8ce9a48fb738245b32d63cdf54f8f)
其中
可能是單純同調或更一般的奇異同調。此結果的一般證明是關於自由阿貝爾群鏈復形的純同調代數,結果的形式是,可以使用其他係數A,代價是使用Tor函子。
例如,通常取A為
,於是係數是模2。在同調中沒有2-扭化的情形下,這就變得簡單明了了。一般來說,這結果表明了X的貝蒂數
與F域中的係數的貝蒂數
之間的關係。但只有當F的特徵是素數p、且同調中存在某種p-扭化時,才會有所不同。
同調情形的說明
考慮模的張量積
。該定理指出,有一個涉及Tor函子的短正合列
![{\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91665410274895bc45c5c135b8f83445eb1437dc)
其中μ是雙射
誘導的映射。即,張量積的同態由直積的雙射誘導。此外,這序列會分裂,雖然不是自然分裂。
若係數環A是
,這就是伯克斯坦譜序列的一個特例。
上同調的萬有係數定理
令G為主理想域R(如
或某個域)上的模。
還有一個涉及Ext函子的上同調的萬有係數定理,斷言有自然的短正合列
![{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603ef636b49b0f1ef52c3d5374b38fa0711ab740)
與同調情形一樣,序列會分裂,雖然不是自然分裂。
事實上,假設
![{\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7114ce9bdc0e1ea36f3b6353488004425f21ff89)
並定義:
![{\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb3c06fced80b32e87f100fb1e66cf1cf39bc93)
則上面的h就是規範映射:
![{\displaystyle h([f])([x])=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f164abcf136148c7617c1fa33724d5d15f84e34a)
另一種觀點是用艾倫伯格–麥克萊恩空間表示上同調,當中h將X到
的映射的同倫類映射到同調中導出的相應同態。於是,艾倫伯格–麥克萊恩空間弱右伴隨於同調函子。[1]
例子:實射影空間的模2上同調
令
,即實射影空間。計算X的係數在
中的奇異上同調。
已知,整數同調由下式給出:
![{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb0390042834f48096edbb192ffdfa9c215cc5d)
有
,於是上述正合列給出
![{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60183b54ea1fbe74915fea1e2729d36f7fc31a8)
事實上,總上同調環結構是
![{\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d157a57a3d18481ce6894dce2ac310cf8369ad82)
推論
定理的一個特例是計算整上同調。對有限CW復形X,
是有限生成的,因此有如下分解:
![{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3e1a35d85554f1ad98edd92eefc7084c1511a4)
其中
是X的貝蒂數,
是
的扭部分。可以檢驗
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f8264455b7ef0a70fb63332711628a73d107a4)
且
![{\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60ff49da67ac7c355e8eec7a0d3765f0e0496de)
這給出了整上同調的如下聲明:
![{\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f8873edf2d395541e9f8b1fc95344af5c5a7b9)
對於有向閉連通n維流形X,這一推論與龐加萊對偶性相結合,得出
。
萬有係數譜序列
對具有扭係數的(上)同調,有萬有係數定理的推廣。對於上同調,有
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58e5dbbe1474bf2bc0f7d646c9e8b69e98fb3ec)
其中R是單位環,
是R上自由模的鏈復形,G是某單位環S的任意
-雙模,
是Ext群。微分
的度為
。
同調也類似
![{\displaystyle E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0117851fad4c40648a19869b0903c860376ef0c)
其中
是Tor群,微分
的度為
。
註釋
參考文獻
外部連結