餘數
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在算術中,當兩個整數相除的結果不能以整數商表示時,餘數便是其「餘留下的量」。當餘數為零時,被稱為整除。
自然數的餘數
如果 和 是兩個自然數, 非0,可以證明存在兩個唯一的整數 和 ,滿足 且 。其中, 被稱為商數, 被稱為餘數。帶餘除法是一個關於如何計算餘數的算法,其中提供了對此結果的證明。
例子
- 13除以10,商為1,餘數為3,或。
- 26除以4,商為6,餘數為2,或。
- 56除以7,商為8,餘數為0,或。
- 9除以10,商為0,餘數為9,或。
一般整數的餘數
如果 與 是整數, 非零,那麼餘數 滿足這樣的關係:
- , 為整數,且。
當這樣定義時,可能導致兩種可能的餘數。例如,除法式子的可以表達為
- (在數學工作者中使用較多)
或
- .
即餘數可能是3或−2。
這種對餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題,對於處理關鍵任務的系統,錯誤的選擇會導致嚴重的後果。在一些組合語言系統中,會有特殊的除法指令,設定餘數和被除數同號。
在上面的例子,負餘數為正餘數減5得來,5即是除數 。通常,當除以 時,如果正餘數為,負餘數為,那麼
- 。
Python 2.7語言定義的除法中,不能整除的情況下,餘數與除數同號,例如表達為
而 則表達為
實數的餘數
當 和 是實數,且 非零, 除以 會得到另一個實數(商),沒有所謂的剩餘的數.但如果要求商為一個整數,則餘數的概念還是有必要的。可以證明:存在唯一的整數商 和唯一的實數r 使得:, 。在整數除法裏,餘數可以要求為負,即滿足關係:。
如上在實數範圍內擴展餘數的定義在數學理論中並不重要;儘管如此,很多程序語言都實現了這個定義—參同餘。