克蘭克-尼科爾森方法(英語:Crank–Nicolson method)是一種數值分析的有限差分法,可用於數值求解熱方程以及類似形式的偏微分方程[1]。它在時間方向上是隱式的二階方法,可以寫成隱式的龍格-庫塔法,數值穩定。該方法誕生於20世紀,由約翰·克蘭克與菲利斯·尼科爾森發展[2]。
可以證明克蘭克-尼科爾森方法對於擴散方程(以及許多其他方程)是無條件穩定[3]。但是,如果時間步長Δt乘以熱擴散率,再除以空間步長平方Δx2的值過大(根據馮諾依曼穩定性分析,以大於1/2為準),近似解中將存在虛假的振盪或衰減。基於這個原因,當要求大時間步或高空間解像度的時候,往往會採用數值精確較差的後向歐拉法進行計算,這樣即可以保證穩定,又避免了解的偽振盪。
方法
克蘭克-尼科爾森方法在空間域上的使用中心差分;而時間域上應用梯形公式,保證了時間域上的二階收斂。例如,一維偏微分方程
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a61d40b0f81e34bef506644f19c84ad194bfcf)
令
,則通過克蘭克-尼科爾森方法導出的差分方程是第n步上採用前向歐拉方法與第n+1步上採用後向歐拉方法的平均值(注意,克蘭克-尼科爾森方法本身不是這兩種方法簡單地取平均,方程對解隱式依賴)。
(前向歐拉方法)
(後向歐拉方法)
(克蘭克-尼科爾森方法)
對於F,通過中心差分方法使其在空間上是離散的。
注意,這是一個隱式方法,需要求解代數方程組以得到時間域上的下一個u值。如果偏微分方程是非線性的,中心差分後得到的方程依舊是非線性方程系統,因此在時間步上推進會涉及求解非線性代數方程組。許多問題中,特別是線性擴散,代數方程中的矩陣是三對角的,通過三對角矩陣算法可以高效求解,這樣,算法的時間複雜度由直接求解全矩陣的
轉化為
。
示例
線性擴散問題
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6078eb4f0ae17369c3395b4cfe573eaf32d5fa0)
通過克蘭克-尼科爾森方法將得到離散方程
![{\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {a}{2(\Delta x)^{2}}}\left((u_{i+1}^{n+1}-2u_{i}^{n+1}+u_{i-1}^{n+1})+(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbec5afa28c7d582f863d9c928daeec02afecf2c)
引入變量
:
![{\displaystyle -ru_{i+1}^{n+1}+(1+2r)u_{i}^{n+1}-ru_{i-1}^{n+1}=ru_{i+1}^{n}+(1-2r)u_{i}^{n}+ru_{i-1}^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab440590a4a04c91b5f6285937f4583a00d66b9)
這是一個三對角問題,應用三對角矩陣算法(追趕法)即可得到
,而不需要對矩陣直接求逆。
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a(u){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce58b696db770c28037513d4fa1ae5178cf94a32)
離散化後則會得到非線性方程系統。但是某些情況下,通過使用a的舊值,即用
替代
,可將問題線性化。其他時候,也可能在保證穩定性的基礎上使用顯式方法估計
一維多通道連接的擴散問題
這種模型可以用於描述水流中含穩定污染流,但只有一維信息的情況。它可以簡化為一維問題並得到有價值的信息。
可對水中污染溶質富集的問題進行建模,這種問題由三部分組成:已知的擴散方程(
為常量),平流分量(即由速度場導致的系統在空間上的變化,表示為常量Ux),以及與縱向通道k旁流的相互作用。
![{\displaystyle \langle 0\rangle {\frac {\partial C}{\partial t}}=D_{x}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}-U_{x}{\frac {\partial C}{\partial x}}-k(C-C_{N})-k(C-C_{M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70267f956d1242abc79e64faa2d26c9df569231b)
其中C表示污染物的富集水平,下標N和M分別對應上一通道和下一通道。
克蘭克-尼科爾森方法(i對應位置,j對應時間)將以上偏微分方程中的每個部分變換為
![{\displaystyle \langle 1\rangle {\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {C_{i}^{j+1}-C_{i}^{j}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67397656d715a32193775427e34bc62c66f15040)
![{\displaystyle \langle 2\rangle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{2(\Delta x)^{2}}}\left((C_{i+1}^{j+1}-2C_{i}^{j+1}+C_{i-1}^{j+1})+(C_{i+1}^{j}-2C_{i}^{j}+C_{i-1}^{j})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a6266d7ffd054187c2c6c633effcff3abd24b0)
![{\displaystyle \langle 3\rangle {\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {(C_{i+1}^{j+1}-C_{i-1}^{j+1})}{2(\Delta x)}}+{\frac {(C_{i+1}^{j}-C_{i-1}^{j})}{2(\Delta x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5049b3dc7e90707a7ca1c106d0952625818708)
![{\displaystyle \langle 4\rangle C={\frac {1}{2}}(C_{i}^{j+1}+C_{i}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d92fee3593a9ff97c4263ce652783107422abe)
![{\displaystyle \langle 5\rangle C_{N}={\frac {1}{2}}(C_{Ni}^{j+1}+C_{Ni}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d30c8d2282b0326978e4b0431f8eeeb4121fb6)
![{\displaystyle \langle 6\rangle C_{M}={\frac {1}{2}}(C_{Mi}^{j+1}+C_{Mi}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fd6926209312e2d8d5ae98fbf947d305784785)
現在引入以下常量用於簡化計算:
![{\displaystyle \lambda ={\frac {D_{x}\Delta t}{2\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d2fa40fd7488f2380ca311a9ef2630f8d62de6)
![{\displaystyle \alpha ={\frac {U_{x}\Delta t}{4\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9ec5a2753588d8106187ffc10a30dd0665e23c)
![{\displaystyle \beta ={\frac {k\Delta t}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d3ec0b7ba2fe02cffcc51144df9515790fa67c)
把 <1>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6>, α, β 和 λ 代入 <0>. 把新時間項(j+1)代入到左邊,當前時間項(j)代入到右邊,將得到
![{\displaystyle -\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j+1}+(1+2\lambda +2\beta )C_{i}^{j+1}-(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1}=\beta C_{Ni}^{j}+(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -2\beta )C_{i}^{j}+(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42b8a48bce4f2863bf5705d341656b167be8f89)
第一個通道只能與下一個通道(M)有關係,因此表達式可以簡化為:
![{\displaystyle -(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j+1}+(1+2\lambda +\beta )C_{i}^{j+1}-(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1}=+(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -\beta )C_{i}^{j}+(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05204cc367a205838a93a2dfb9a8fdd89f8d6d34)
同樣地, 最後一個通道只與前一個通道(N)有關聯,因此表達式可以簡化為
![{\displaystyle -\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j+1}+(1+2\lambda +\beta )C_{i}^{j+1}-(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j+1}=\beta C_{Ni}^{j}+(\lambda +\alpha )C_{i-1}^{j}+(1-2\lambda -\beta )C_{i}^{j}+(\lambda -\alpha )C_{i+1}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a18ffa14aacc3ffb3796c28093ba6a76d4d0c16)
為求解此線性方程組,需要知道邊界條件在通道始端就已經給定了。
: 當前時間步某通道的初始條件
: 下一時間步某通道的初始條件
: 前一通道到當前時間步下某通道的初始條件
: 下一通道到當前時間步下某通道的初始條件
對於通道的末端最後一個節點,最方便的條件是是絕熱近似,則
![{\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}_{x=z}={\frac {(C_{i+1}-C_{i-1})}{2\Delta x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc64870e1db2f9fbecf737f8eac1df666dcae3a)
當且只當
![{\displaystyle C_{i+1}^{j+1}=C_{i-1}^{j+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d90098f5c25cdd8cf281cb7ce0a6d0d1271a701)
時,這一條件才被滿足。
以3個通道,5個節點為例,可以將線性系統問題表示為
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}AA\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}}=[BB][C^{j}]+[d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2c0004cff53a3084cd60a0ff6963149780390b)
其中,
![{\displaystyle \mathbf {C^{j}} ={\begin{bmatrix}C_{11}^{j}\\C_{12}^{j}\\C_{13}^{j}\\C_{14}^{j}\\C_{21}^{j}\\C_{22}^{j}\\C_{23}^{j}\\C_{24}^{j}\\C_{31}^{j}\\C_{32}^{j}\\C_{33}^{j}\\C_{34}^{j}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274b425442a35a5e3df6efedd41bfd601effd696)
需要清楚的是,AA和BB是由四個不同子矩陣組成的矩陣,
![{\displaystyle \mathbf {AA} ={\begin{bmatrix}AA1&AA3&0\\AA3&AA2&AA3\\0&AA3&AA1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630c8627535302062431549be8c9bac1f727036c)
![{\displaystyle \mathbf {BB} ={\begin{bmatrix}BB1&-AA3&0\\-AA3&BB2&-AA3\\0&-AA3&BB1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47da9632045b13b1c4b894a5edb76f09299d75c8)
其中上述矩陣的的矩陣元對應於下一個矩陣和額外的4x4零矩陣。請注意,矩陣AA和BB的大小為12x12
![{\displaystyle \mathbf {AA1} ={\begin{bmatrix}(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )&0&0\\-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )&0\\0&-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +\beta )&-(\lambda -\alpha )\\0&0&-2\lambda &(1+2\lambda +\beta )\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7151f03ea2fea8ef5546b2fbad432635b8fb49ed)
![{\displaystyle \mathbf {AA2} ={\begin{bmatrix}(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )&0&0\\-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )&0\\0&-(\lambda +\alpha )&(1+2\lambda +2\beta )&-(\lambda -\alpha )\\0&0&-2\lambda &(1+2\lambda +2\beta )\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70e9599cd41a2226d043ed1553e95d859652f2b)
![{\displaystyle \mathbf {AA3} ={\begin{bmatrix}-\beta &0&0&0\\0&-\beta &0&0\\0&0&-\beta &0\\0&0&0&-\beta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4befc396376d975f6ba3deac20d3c8b2a4e3b027)
&
![{\displaystyle \mathbf {BB2} ={\begin{bmatrix}(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )&0&0\\(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )&0\\0&(\lambda +\alpha )&(1-2\lambda -2\beta )&(\lambda -\alpha )\\0&0&2\lambda &(1-2\lambda -2\beta )\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef80fe9db983b64e5b3012ead2bbd5b6a0ddb49)
這裏的d向量用於保證邊界條件成立。在此示例中為12x1的向量。
![{\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}(\lambda +\alpha )(C_{10}^{j+1}+C_{10}^{j})\\0\\0\\0\\(\lambda +\alpha )(C_{20}^{j+1}+C_{20}^{j})\\0\\0\\0\\(\lambda +\alpha )(C_{30}^{j+1}+C_{30}^{j})\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071394782eb2eb337b52a5a95e0f054c549fa757)
為了找到任意時間下污染物的聚集情況,需要對以下方程進行迭代計算:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AA^{-1}\end{bmatrix}}([BB][C^{j}]+[d])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b9594d4023d1133ab12023a4b8a801803b0c86)
二維擴散問題
將擴散問題延伸到二維的笛卡爾網格,推導方程類似,但結果會是{{link-en|帶形矩陣|Banded matrix||的方程式,不是三角矩陣,二維的熱方程
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=a\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46663350fcf0f5ceb1615f6dd1152701f1e2e8c8)
假設網格滿足
的特性,即可通過克蘭克-尼科爾森方法將得到離散方程
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{i,j}^{n+1}&=u_{i,j}^{n}+{\frac {1}{2}}{\frac {a\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}{\big [}(u_{i+1,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1}+u_{i,j+1}^{n+1}+u_{i,j-1}^{n+1}-4u_{i,j}^{n+1})\\&\qquad {}+(u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}){\big ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d074ece8b5df3b7f5e563a01d0fcf58768cd407)
此方程可以再重組,配合柯朗數再進行簡化
![{\displaystyle \mu ={\frac {a\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aedf0528245a91706f748bc38a000f294e31836)
在克蘭克-尼科爾森方法下,不需要為了穩定性而限制柯朗數的上限,不過為了數值穩定度,柯朗數仍不能太高,可以將方程式重寫如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(1+2\mu )u_{i,j}^{n+1}-{\frac {\mu }{2}}\left(u_{i+1,j}^{n+1}+u_{i-1,j}^{n+1}+u_{i,j+1}^{n+1}+u_{i,j-1}^{n+1}\right)\\&\quad =(1-2\mu )u_{i,j}^{n}+{\frac {\mu }{2}}\left(u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7471ad0140bf6b69d6de2e0a1b9158a06079ba8a)
應用在金融數學上
許多的現象都可以用熱方程(金融數學上稱為擴散方程)來建模,因此克蘭克-尼科爾森方法也可以用在這些領域中[4]。尤其金融衍生工具定價用的布萊克-休斯模型可以轉換為熱方程,因此期權定價的數值解可以用克蘭克-尼科爾森方法求得。
因為期權定價若超過基本假設(例如改變股息)時,無法求得解析解,需要用上述方式求得。不過若是非平滑的最後條件(大部份的金融商品都是如此),克蘭克-尼科爾森方法會有數值的震盪,無法用濾波方式平緩。在期權定價上會反映在履約價Γ的變動。因此,一開始幾個步驟需要用其他比較不會震盪的方法(如全隱式有限差分法)。
相關條目
參考資料