如果一個實數
滿足,對任意正整數
,存在整數
,其中
有
![{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d93d6eee429bb24aec67f11635016f4c3f2db0)
就把
叫做劉維爾數。
法國數學家劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數[1],第一次說明了超越數的存在。
基本性質
容易證明,劉維爾數一定是無理數。若不然,則
。
取足夠大的
使
,在
時有
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-dp}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44ac804ed620f408d8fc91bc2a32ebaec1a2531)
與定義矛盾。
劉維爾常數
即
![{\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e748318c12355d3d56b96ac24a48605b32a9f626)
這是一個劉維爾數。取
![{\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},\quad q_{n}=10^{n!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d01f2cf6491019e283b5b8fcc7a7490439e4813)
那麼對於所有正整數
![{\displaystyle \left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+{}\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0688d821a4eb509ae685c1c84a974dbcafa24cfd)
超越性
所有劉維爾數都是超越數,但反過來並不對。例如,著名的e和
就不是劉維爾數。實際上,有不可數多的超越數都不是劉維爾數。
證明
劉維爾定理:若無理數
是代數數,即整係數
次多項式
的根,那麼存在實數
,對於所有
有
![{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eab54ddbbd18d2093dcfa1d38d202637bffd927)
證明:令
,記
的其它的不重複的根為
,取這樣的A
![{\displaystyle 0<A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec46611d908101800edfca0bb14fd0da4d2fbd07)
如果存在使定理不成立的
,就有
![{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcdfc95c54077484e93a90e36fe137bed5c5cdd8)
那麼,
據拉格朗日中值定理,存在
和
之間的
使得
![{\displaystyle f(\alpha )-f(p/q)=(\alpha -p/q)\cdot f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a1a90a2d1ad8283e13f7fd8c37f877e121082f)
有
![{\displaystyle \left\vert (\alpha -p/q)\right\vert =\left\vert f(\alpha )-f(p/q)\right\vert /\left\vert f'(x_{0})\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a80908369333c0b0e8270b00b8314c67c30618)
是多項式,所以
![{\displaystyle \left\vert f(p/q)\right\vert =\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right\vert ={\frac {\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right\vert }{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eff5d8fcdbfda1e3a939644a7bf8707ab6e9da0)
由於
和
![{\displaystyle \left\vert \alpha -p/q\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \geq 1/(Mq^{n})>A/q^{n}\geq \left\vert \alpha -p/q\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee26a9eefb73779a220bc52f5be79f680652c9aa)
矛盾。
證明劉維爾數是超越數:有劉維爾數
,它是無理數,如果它是代數數則
![{\displaystyle \exists n\in \mathbb {Z} ,A>0\forall p,q\left(\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40caa8622cfc3549f0147e8ffd9abb8eb082d61f)
取滿足
的正整數
,並令
,存在整數
其中
有
![{\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507c4260f1630a6ccf01c442d10c86d73385b2bf)
與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。
參考文獻
- ^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. (原始內容存檔於2023-02-21).
參見
外部連結