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劉維爾數

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如果一個實數滿足,對任意正整數,存在整數,其中

就把叫做劉維爾數

法國數學家劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數[1],第一次說明了超越數的存在。

基本性質

容易證明,劉維爾數一定是無理數。若不然,則。 取足夠大的使,在時有

與定義矛盾。

劉維爾常數

這是一個劉維爾數。取

那麼對於所有正整數

超越性

所有劉維爾數都是超越數,但反過來並不對。例如,著名的e就不是劉維爾數。實際上,有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

證明

劉維爾定理:若無理數代數數,即整係數多項式的根,那麼存在實數,對於所有

證明:令,記的其它的不重複的根為 ,取這樣的A

如果存在使定理不成立的,就有

那麼,

拉格朗日中值定理,存在之間的使得

是多項式,所以

由於

矛盾。

證明劉維爾數是超越數:有劉維爾數,它是無理數,如果它是代數數則

取滿足的正整數,並令,存在整數其中

與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

參考文獻

  1. ^ Liouville, Joseph. Mémoires et communications. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. [2023-01-02]. (原始內容存檔於2023-02-21). 

參見

外部連結