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別雷定理

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數學上,別雷定理英語:Belyi's theorem)是有關代數曲線的定理,指出任何用代數數系數定義的非奇異英語non-singular代數曲線C,都代表這樣的一個緊黎曼曲面英語Compact Riemann surface,這黎曼曲面能作為黎曼球面分歧覆蓋英語ramified covering,且只有三個分歧點。

這定理是根納季·別雷英語G. V. Belyi1979年的結果。這個結果當時令人大感意外,激發格羅滕迪克發展出dessin d'enfant英語dessin d'enfant理論,使用組合數學資料描述代數數上的非奇異代數曲線。

格羅滕迪克曾在《Esquisse d'un Programme英語Esquisse d'un Programme》評價這定理說:「不到一年後,在赫爾斯基的國際數學家大會中,蘇聯數學家別雷宣佈了正正這個結果,證明令人困惑地簡單,德利涅一封信的兩小頁也容得下。毫無疑問,從未有一個深刻且令人迷惑的結果,如此短短數行就證明出來!」[1]

上半平面的商

從上推導出這樣的黎曼曲面可以取作

H / Γ

其中H上半平面,Γ是模群英語modular group的有限指數子群,曲面用尖點緊化。因為模群有非同餘子群英語non-congruence subgroup,故此不可以作結論說任何這樣的曲線都是模曲線

別雷函數

別雷函數是從緊黎曼曲面S複射影直線P1(C)的全純映射,僅在三點分歧,這三點可以經由莫比烏斯變換取為。別雷函數可以用dessin d'enfant給出組合數學描述。

別雷函數和dessin d'enfants(但不是別雷定理)至少可以追溯到菲利克斯·克萊因的工作。他用了這些概念去研究複射影直線的一個11重覆蓋,其單射群英語monodromy group為PSL(2,11)。[2](Klein 1879)

應用

別雷定理證明了別雷函數的存在性。這定理常應用於伽羅瓦逆問題英語inverse Galois problem

參考

  1. ^ A. Grothendieck. Esquisse d'un Programme (PDF): p.17. [永久失效連結]
  2. ^ le Bruyn, Lieven, Klein’s dessins d’enfant and the buckyball, 2008 [2015-03-20], (原始內容存檔於2014-08-12) .

參看

  • Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino, Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts 79, Cambridge: Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001 
  • Wushi Goldring, Unifying themes suggested by Belyi's Theorem, Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (編), Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang, Springer: 181–214, 2012, ISBN 978-1-4614-1259-5