柯西-尤拉方程是形式如 x 2 y ″ + b x y ′ + c y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0} （其中 b , c {\displaystyle b,c} 是常數）的二階變系數常微分方程。
觀察可知 y = x r {\displaystyle y=x^{r}} 是一個特定解：
因為 x r = 0 {\displaystyle x^{r}=0} 若且唯若 x = 0 {\displaystyle x=0} ，所以要考慮二次方程 r 2 + ( b − 1 ) r + c = 0 {\displaystyle r^{2}+(b-1)r+c=0} 的解。
設 p , q {\displaystyle p,q} 為二次方程的解。若 p , q {\displaystyle p,q} 不相等， y {\displaystyle y} 的一般解則為 y = A x p + B x q {\displaystyle y=Ax^{p}+Bx^{q}} 。
若 p = q = ( 1 − b ) / 2 {\displaystyle p=q=(1-b)/2} ，其中一個特定解為 x r ln x {\displaystyle x^{r}\ln {x}} ：
代入 r = ( 1 − b ) / 2 {\displaystyle r=(1-b)/2} 便知右方括號內等於0。因此核實 x r ln x {\displaystyle x^{r}\ln {x}} 是一個特定解。
於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： y = A x r + B x r ln x {\displaystyle y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}} 。
