弱*拓扑

弱*拓扑是赋范向量空间的对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性，在于它使得单位球是紧集（巴拿赫-阿劳格鲁定理）；相反地在线性算子范数诱发的拓扑中，单位球未必紧致。（结果成立当且仅当赋范向量空间为有限维。）

定义

在域 $\mathbb {K}$ （ $\mathbb {K}$ 是 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ）上的赋范空间 $E$ 中，每一个元素 $x$ ，都可以定义对偶空间 $E^{*}$ 上的一个线性算子 ${\hat {x}}(f):=f(x)$ 。弱*拓扑是在 $E^{*}$ 上最弱的拓扑，使得所有这样的 ${\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K}$ 都是连续的。

弱*拓扑可以更具体的定义，在 $E^{*}$ 上给出它的邻域基：对任何 $f\in E^{*}$ ，集合

U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}

其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$ ， $\epsilon >0$ ，是 $f$ 的弱*开的邻域基。

收敛

弱*拓扑的收敛条件很简单：序列 $(f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ 在弱*拓扑中收敛，如果对任何 $x\in E$ 都有 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ ，即 $f_{n}$ 逐点收敛到 $f$ 。弱*收敛记作 $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ 。

弱*收敛性比依范数收敛性弱。如果 $\|f-f_{n}\|\to 0$ ，其中 $\|\cdot \|$ 是 $E^{*}$ 的范数，则 $f_{n}$ 必然逐点收敛于 $f$ ，因而有 $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ ；但是， $f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$ 不一定有 $\|f-f_{n}\|\to 0$ ，甚至可能 $\|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|$ 。