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多重線性代數

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數學中,多重線性代數推廣了線性代數的方法。和線性代數一樣也是建立在向量的概念上,發展了向量空間的理論。在應用上,出現了許多類型的張量。該理論全面囊括了一系列空間以及它們之間的關係。

多重線性代數方式的歷史背景

這個學科本身有許多不同的起源可以追溯到十九世紀的數學,但是稱之為張量分析,或張量計算或張量場。張量在微分幾何廣義相對論以及許多應用數學分支中的應用發展起來。大約在20世紀中葉,張量的研究轉向抽象。布爾巴基學派的專著《多重線性代數》特別流行;事實上,也許「多重線性代數」便是由此發明的。

原因之一是當時在同調代數這個新領域的應用。20世紀40年代代數拓撲的發展給純代數方式處理張量積注入了新的活力。兩個空間同調群的計算涉及到張量積;但是只在最簡單的情形,比如環面是直接算出來的(參見萬有係數定理)。細微的拓撲現象要求一種更好的概念;從技術上說,需要定義Tor函子

該材料組織得很廣泛,包括追溯到赫爾曼·格拉斯曼的想法,從微分形式理論導致了德拉姆上同調中的想法,以及一些更初等的想法比如楔積(推廣了叉積)。

布爾巴基將結論以相當苛刻的方式,完全拒絕向量分析中一種處理方式(四元數方法,即,在一般情形,和李群的關係)。他們轉而應用一種利用範疇論的新方式,從李群處理方式的觀點來看是一種獨立的方法。由於這導致了一種更清晰的處理方式,它們可能在純數學術語中沒有對應物。(嚴格地說,涉及到泛性質方式;這似乎比範疇論更一般,而這兩個交替方式的關係也在同一時間被理清了。)

事實上他們所做的是準確的解釋了「張量空間」是將多重線性問題簡化為線性問題的建構。這種純代數挑戰沒有提供幾何直觀。

將問題重新表述成多重線性代數術語是有好處的,這裡有清楚的和良定義的「最好解」:解的限制恰好是你事實上所需要的。一般沒有必要引入任何特殊的構造,幾何概念或依賴於坐標系。在範疇理論術語中,一切都是完全自然的。

抽象方法的總結

原則上抽象方法可以重新獲得通過古典方法得到的一切。在實踐中可能並不簡單。另一方面,「自然」這一概念和廣義相對論中的廣義協變性原理一致。後者處理張量場流形上逐點變化的張量),但是協變性斷言張量語言對廣義相對論的恰當表述是不可缺少的。

幾十年以後,來自範疇論中相當抽象觀點與20世紀30年代赫爾曼·外爾(在他有名的和非常難的著作《經典群》)發展的方法密切相關。在某種方式上,這使理論成為一個圓圈,再次連接了新舊兩種觀點。

多重線性代數議題

本文中所涉及到的題材遠少於當前的發展,下面是與之密切相關的一些條目:

更多參見:張量理論術語

從應用觀點看

多重線性代數以多種不同的形態出現在應用中: