線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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矩陣A的轉置AT的取得方法。重覆以上動作會得出原本的矩陣
在線性代數中,矩陣A的轉置(英語:transpose)是另一個矩陣AT(也寫做Atr, tA, At或A′)由下列等價動作建立:
形式上說,m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣
for
。
注意:
(轉置矩陣)與
(逆矩陣)不同。
例子
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1e10800e0d0e3ffa90917139532cfb8348fc63)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a92835c45d5cd15dd00a8d90c14bdb4b8150ef0)
性質
對於矩陣A, B和純量c轉置有下列性質:
- 轉置是自身逆運算。
- 轉置是從m × n矩陣的向量空間到所有n × m矩陣的向量空間的線性映射。
- 注意因子反轉的次序。以此可推出方塊矩陣A是可逆矩陣,若且唯若AT是可逆矩陣,在這種情況下有 (A−1)T = (AT)−1。相對容易的把這個結果擴展到矩陣相乘的一般情況,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT。
- 純量的轉置是同樣的純量。
- 矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。
- 兩個縱列向量a和b的內積可計算為
![{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a74d709f65c93e558b074dc78ff32b8f6f6553)
- 如果A只有實數元素,則ATA是半正定矩陣。
- 如果A是在某個體上,則A 相似於AT。
特殊轉置矩陣
其轉置等於自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣;就是說A是對稱的,如果
。
其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣;就是說G是正交的,如果
I是單位矩陣。
其轉置等於它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣;就是A是斜對稱的,如果
。
複數矩陣A的共軛轉置,寫為AH,是A的轉置後再取每個元素的共軛複數:
![{\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32f08be51b59cd27c2abe26606dd4a6fdff1de8)
線性映射的轉置
如果f: V→W是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式的線性映射,我們定義f的轉置為線性映射tf : W→V,確定自
![{\displaystyle B_{V}(v,{}^{t}f(w))=B_{W}(f(v),w)\quad \forall \ v\in V,w\in W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfd1a1a97fe49fb630406f4764cab0b9e345384)
這裡的,BV和BW分別是在V和W上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣,只要基是關於它們的雙線性形式是正交的。
在複向量空間上,經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義,轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出,如果基是正交的。在這種情況下,轉置也叫做埃爾米特伴隨。
如果V和W沒有雙線性形式,則線性映射f: V→W的轉置只能定義為在對偶空間W和V之間的線性映射
tf : W*→V*。
參考資料
外部連結