在抽象代數 中,一個環 的一個非零元素 a 是一個左零因子 ,若且唯若存在一個非零元素 b ,使得 ab=0 。類似的,一個非零元素 a 是一個右零因子 ,若且唯若存在一個非零元素 b ,使得 ba=0 。左零因子和右零因子通稱為零因子 (zero divisor)。[ 1] [ 2] [ 註 1] 。在交換環 中,左零因子與右零因子是等價的。一個既不是左零因子也不是右零因子的非零元素稱為正則 的 。
例子
整數 環
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
沒有零因子,但是在環
Z
×
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
中,有
(
0
,
n
)
×
(
m
,
0
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,n)\times (m,0)=(0,0)}
,於是
(
0
,
n
)
{\displaystyle (0,n)}
和
(
m
,
0
)
{\displaystyle (m,0)}
都是零因子。
在商環
Z
/
6
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }
中,同餘類
4
{\displaystyle 4}
(即
4
+
6
Z
{\displaystyle 4+6\mathbb {Z} }
),是一個零因子,因為
3
×
4
{\displaystyle 3\times 4}
是同餘類
0
{\displaystyle 0}
。
(
1
1
2
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}
因為
(
1
1
2
2
)
⋅
(
1
1
−
1
−
1
)
=
(
−
2
1
−
2
1
)
⋅
(
1
1
2
2
)
=
(
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}
更一般地說,在某些域上的 n×n 的矩陣 組成的環中,左零因子也就是右零因子(實際上就是所有的非零的奇異矩陣 )。在某些整環 上的 n×n 的矩陣 組成的環中,零因子就是所有行列式 為0的非零矩陣。
下面給出一個環中的左零因子和右零因子的例子,它們都不是零因子。
令 S 為所有整數數列的集合,則 S 到 S 的映射,對於數列的加法和映射的複合,成為一個環 End(S ),。
考慮以下三個映射:右移映射:R (a 1 , a 2 ,a 3 ,...) = (0, a 1 , a 2 ,...), 左移映射:L(a 1 , a 2 ,a 3 ,... ) = (a 2 , a 3 ,...),以及只保留首項的映射: T (a 1 , a 2 ,a 3 ,... ) = (a 1 , 0, 0, ... )
LT = TR = 0,所以 L 是一個左零因子,R 是一個右零因子。但是 L 不是右零因子,R 也不是左零因子。因為 LR 便是恆等映射。也就是說,如果有一個映射 f 使得 fL = 0,那麼 0=(fL )R = f (LR )= f 1 = f ,f 必然是 0,於是 L 不可能是右零因子。同理,R 也不可能是左零因子。
實際上,我們可以將 S 到 S 的映射看作可數 階數的矩陣,於是左移映射 L 就可以表示為:
A
=
(
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
⋯
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
⋮
⋱
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}}
同理 R 則是 L 的轉置矩陣(同時也是 L 的逆矩陣)。可以看出這個例子在有限階矩陣中是無法構造的。
性質
任意的非零的等冪元 a ≠ 1 都是零因子,因為由 a 2 = a 可推出 a (a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,冪零元素 是當然的零因子。
一個非退化的交換環 (0 ≠ 1)若沒有零因子,則是一個整環 。
商環 Z /n Z 包含零因子,若且唯若 n 是合數 。如果 n 是質數 ,Z /n Z 是一個域,因而沒有零因子,因為每個非零元素都是可逆 的。
參見
註釋
參考資料