面 (幾何)

在立體幾何中，立體幾何體的邊界被稱作面或表面^[1]^[2]，更嚴謹地說，面是立體幾何體的一個平坦表面^[3]，而不平坦的面通常稱為曲面，而所有表面的總和稱為表面積^[4]。在高維度幾何以及高維的多胞形中，面也被用來指代構成多胞形的一個組成元素，通常會跟隨其維度一同稱呼，例如三維的元素稱為3-面。^[5]

多邊形面

在基礎幾何學中，面是指位於多面體邊界的多邊形^[5]，換句話說即多面體是一個由多邊形構成的三維幾何體，構成多面體的這些多邊形就被稱為面^[6]。

例如：正方體有六個面，三稜錐有四個面。廣義來說，面也可用來指代四多胞形的一個二維邊界，就如我們說四維超正方體有24個正方形面。

面的例子
凸正多面體	星形正多面體	正鑲嵌圖	雙曲鑲嵌	四維z多胞體
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
立方體的每個頂點都是3個正方形面的公共頂點^[7]	小星形十二面體的每個頂點都是5個五角星面的公共頂點^[8]	正方形鑲嵌的每個頂點都是4個正方形面的公共頂點^[9]	五階正方形鑲嵌的每個頂點都是5個正方形面的公共頂點^[10]	超立方體的每條邊都是3個正方形面的公共稜^[11]

多面體的面的數量

在三維空間中，任何凸多面體的歐拉示性數為2。歐拉示性數 $\chi$ 可以通過以下公式計算：

\chi :=V-E+F,

^{[註 1]}

以上式子中，V 是頂點的數量，E 是邊的數量，F 是面的數量。例如，正方體有12條邊，8個頂點和6個面。那麼我們可以計算得正方體的歐拉示性數為2。

維面

在幾何學中，維面（Facet）又稱為超面（hyperface^[12]）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素^[13]

多維面

在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中，有時會稱為k維胞，這一用法並未限定元素的所屬維度。^[5]^[14]^[15]例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形P，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）^[5]^[15]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。^[14]^[15]

參見

註釋

^ 這行式子應理解為： $\chi$ 的定義式是 $V-E+F$
^ 在晶體學中有多個面的概念，如反映面是通過反映這一對稱操作得到的，用符號P表示，如單斜晶系晶體反映面之數目為1。此外，還有滑移面的概念。
晶體學中的另一個面的概念是晶體的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[16]

參考來源

^ 【表面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
^ 【面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
^ Weisstein, Eric W. (編). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-10） .
^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-13）
^ Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.
^ Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (幫助) pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
^ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
^ Weisstein, Eric W. (編). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
^ Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17
^ ^14.0 ^14.1 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始內容存檔於2013-10-31） .
^ ^15.0 ^15.1 ^15.2 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始內容存檔於2019-06-12） .
^ 錢逸泰. 結晶化學導論（第3版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

[12] 這行式子應理解為： $\chi$ 的定義式是 $V-E+F$

[18] 在晶體學中有多個面的概念，如反映面是通過反映這一對稱操作得到的，用符號P表示，如單斜晶系晶體反映面之數目為1。此外，還有滑移面的概念。
晶體學中的另一個面的概念是晶體的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[16]

[1] 【表面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.

[2] 【面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.

[3] Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.

[4] Weisstein, Eric W. (編). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[m-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-10） .

[6] Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-13）

[book_van2003problems-7] Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.

[8] Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (幫助) pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[9] Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

[10] Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

[Hypercube-11] Weisstein, Eric W. (編). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[13] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225

[14] Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17

[g-15] 14.0 ^14.1 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始內容存檔於2013-10-31） .

[z-16] 15.0 ^15.1 ^15.2 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始內容存檔於2019-06-12） .

[17] 錢逸泰. 結晶化學導論（第3版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

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[註 1]

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[註 2]

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