在同一尺度上的歸一化 sinc 函數(藍色)與非歸一化 sinc 函數(紅色)
將 sinc 函數作為音頻播放(2000 Hz)
sinc函數(英語:sinc function)是一種函數,在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號
表示這種函數。
sinc函數可以被定義為歸一化的或者非歸一化的,不過兩種函數都是正弦函數和單調的遞減函數 1/x的乘積:
- 在數位訊號處理和通信理論中,人們把歸一化sinc函數定義為
- 對於所有x ≠ 0,
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22739faae68af714aa3f875ee807fe3231f45c93)
- 在數學領域中,人們以前使用的非歸一化sinc函數 (for sinus cardinalis)被定義為
- 對於所有x ≠ 0,
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a8ae80d4f9fcde64275bc5826adea95b10f2bd)
在這兩種情況下,當x=0時sinc函數的值被定義為以下的極限值,因此 sinc 函數是處處可解析的。
- 對於任何實數 a ≠ 0,
![{\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc34cd01f06c44a91e729682efa88eeebcbd4872)
非歸一化sinc函數等同於歸一化sinc函數,只是它的變量中沒有放大係數 π 。
屬性
Re Sinc complex plot
Im Sinc complex plot
Abs Sinc complex plot
歸一化 sinc 函數的特性使得它在插值與帶限函數中得到理想應用:
- 對於
與
(整數),
和
;也就是說,它是一個插值函數。
- 函數
在函數空間
形成一個帶限函數的正交基,它的最大角頻率是
,也就是說最大的循環頻率是
。
這兩個 sinc 函數的其它特性包括:
- 非歸一化 sinc 函數
;對應於它與餘弦函數的交點。也就是說,如果
的導數是 0 ,即在
有極值,那麼
。
- 非歸一化 sinc 是第一類零階球貝索函數
。歸一化 sinc 是
。
- 非歸一化 sinc 的過零點是
的非零倍數;歸一化 sinc 函數
的過零點出現在非零整數。
- 歸一化 sinc 函數
的對於普通頻率的連續傅立葉變換是
。
,
- 其中矩形函數在 –1/2 到 1/2 之間值為 1,在其它區域值為 0。
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43bef11ea4faac598505c1608d83b96b68b495b)
- 是廣義積分。因為:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adde812be6340988da0facbbc5974bfc1db7fb7d)
所以它不是勒貝格積分。
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d599ee9734a68cc11a2b24c882819256f7ac046e)
![{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973c9d51c7cb697c0383506f7f51fdf6580eeb89)
- 其中
是 Γ函數。
與狄拉克δ分布的關係
儘管不是分布,歸一化 sinc 函數也可以作為 nascent δ函數(參見狄拉克δ函數)使用。
歸一化 sinc 函數通過下式與δ分布 δ(x) 發生聯繫
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f27edca204c02b1ded8e8b32e76bcf5ede7cadd)
由於等式左側並不收斂,所以這不是普通的 limit,而是說明對於任意的緊支撐平滑函數
有
![{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0ed646bdd8b4e9d91f0962e6637840c0e4f5b)
在上面的表達式中,隨著 a 趨近於 0,sinc 函數每個單元長度上的振動次數趨近於無限,然而不管 a 是什麼值,這個表示通常在 ±1/(πx) 內振動。這與 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,這表明了將δ函數作為函數而不是分布帶來的問題。在吉布斯現象(Gibbs phenomenon)中也有類似的狀況。
參見
參考文獻
外部連結