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四進位

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四進制是以4底数進位制,以 0123 四個數字表示任何實數

四進制與所有固定底数記數系統有著很多共同的屬性,比如以標準的形式表示任何實數的能力(近乎獨特),以及表示有理數無理數的特性。有關屬性的討論可參考十進制二進制

與二進制的關係

八進制十六進制記數系統一樣,四進制二進制有著一種特別的關係:各底数包括 4816 均為 2,故此,四進制八進制十六進制,與二進制之間的換算技術,乃是一個數位對兩個、三個或四個二進制位或位元來進行換算。例如在四進制:

3221(4) = 11101001(2)

在二進制運算和邏輯的討論和分析中,八進制和十六進制廣泛應用於電腦技術程式設計範疇,而四進制卻並不然。

希爾伯特曲線

然而,四進制數字有用於表示二維希爾伯特曲線:把位於 01 之間的實數轉換到四進制系統,指示各自四個子象限的各個個別數位就會給顯示出來,並不斷循環。

Qua
(四進)
Bin
(二進)
Dec
(十進)
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
10 0100 4
11 0101 5
12 0110 6
13 0111 7
20 1000 8
21 1001 9
22 1010 10
23 1011 11
30 1100 12
31 1101 13
32 1110 14
33 1111 15

人類語言

在眾多甚至所有丘馬什語系英语Chumashan languages中原來均使用四進制記數,即數字的讀法結構均為 416(而非 10)。而在約1819年,一位西班牙神父也有記錄了大至32的Ventureño語英语Ventureño language數字的存活紀錄。[1]

視覺展示

圖1:四進制數字視覺化排序

使用三種有色圓形(1為藍色,2為綠色,3為白色,0為)及五檔位置即可以視覺化形式顯示由 01023 的任何數字。下列圖表是對圖1的解讀。

對應表

標準四進制中的數字 0 到 64(0 到 1000)
十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二進制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
四進制 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33
八進制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
十六進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十進制 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
二進制 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
四進制 100 101 102 103 110 111 112 113 120 121 122 123 130 131 132 133
八進制 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37
十六進制 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
十進制 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
二進制 100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
四進制 200 201 202 203 210 211 212 213 220 221 222 223 230 231 232 233
八進制 40 41 42 43 44 45 46 47 50 51 52 53 54 55 56 57
十六進制 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
十進制 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
二進制 110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111 111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
四進制 300 301 302 303 310 311 312 313 320 321 322 323 330 331 332 333
八進制 60 61 62 63 64 65 66 67 70 71 72 73 74 75 76 77
十六進制 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F

例(四進制→十進制):

分數

由於只有2的因數,許多四進制分數具有重複數字,儘管這些分數往往相當「小」:

十進制基數
Prime factors of the base: 2, 5
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 7 13 17 19 23 29 31
四進制基數
Prime factors of the base: 2
Prime factors of one below the base: 3
Prime factors of one above the base: 11
Other prime factors: 13 23 31 101 103 113 131 133
分數 分母 分母 分數
1/2 2 0.5 0.2 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.1111... = 0.1 3 1/3
1/4 2 0.25 0.1 2 1/10
1/5 5 0.2 0.03 11 1/11
1/6 2, 3 0.16 0.02 2, 3 1/12
1/7 7 0.142857 0.021 13 1/13
1/8 2 0.125 0.02 2 1/20
1/9 3 0.1 0.013 3 1/21
1/10 2, 5 0.1 0.012 2, 11 1/22
1/11 11 0.09 0.01131 23 1/23
1/12 2, 3 0.083 0.01 2, 3 1/30
1/13 13 0.076923 0.010323 31 1/31
1/14 2, 7 0.0714285 0.0102 2, 13 1/32
1/15 3, 5 0.06 0.01 3, 11 1/33
1/16 2 0.0625 0.01 2 1/100
1/17 17 0.0588235294117647 0.0033 101 1/101
1/18 2, 3 0.05 0.0032 2, 3 1/102
1/19 19 0.052631578947368421 0.003113211 103 1/103
1/20 2, 5 0.05 0.003 2, 11 1/110
1/21 3, 7 0.047619 0.003 3, 13 1/111
1/22 2, 11 0.045 0.002322 2, 23 1/112
1/23 23 0.0434782608695652173913 0.00230201121 113 1/113
1/24 2, 3 0.0416 0.002 2, 3 1/120
1/25 5 0.04 0.0022033113 11 1/121
1/26 2, 13 0.0384615 0.0021312 2, 31 1/122
1/27 3 0.037 0.002113231 3 1/123
1/28 2, 7 0.03571428 0.0021 2, 13 1/130
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0.00203103313023 131 1/131
1/30 2, 3, 5 0.03 0.002 2, 3, 11 1/132
1/31 31 0.032258064516129 0.00201 133 1/133
1/32 2 0.03125 0.002 2 1/200
1/33 3, 11 0.03 0.00133 3, 23 1/201
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0.00132 2, 101 1/202
1/35 5, 7 0.0285714 0.001311 11, 13 1/203
1/36 2, 3 0.027 0.0013 2, 3 1/210

遺傳學

四進制和以脫氧核糖核酸 (DNA) 表示的遺傳密碼,兩者之間的位值記錄方式可以相互呼應。四種脫氧核糖核酸核苷酸的簡稱按字母先後次序排列,分別為A(Adenine;腺嘌呤)、C(Cytosine;胞嘧啶)、G(Guanine;鳥嘌呤)及 T(Thymine;胸腺嘧啶),可用作表示四進制數字,按先後次序排列為 0123。在此編碼下,互補數字配對 0↔3 及 1↔2 (二進制為 00↔11 及 01↔10) ,與鹼基對的互補配對 A↔T 及 C↔G 吻合。

比方說,核苷酸序列GATTACA可以四進制數字2033010表示(十進制為9156)。

可是亦有爭議指,脫氧核糖核酸應以二進制表示,而非四進制,理由是「在核苷酸的配對中,A(Adenine;腺嘌呤)只能與T(Thymine;胸腺嘧啶)配對,而C(Cytosine;胞嘧啶)只能與G(Guanine;鳥嘌呤)配對。C不能與AT和自己配對,A又不能與CG和自己配對。簡單來說,核苷酸的配對只存在兩種狀況,如同在電腦使用的二進制。」。[2]可是,另一方面核苷酸的配搭形式可是A↔T也可是其反轉T↔A,可是C↔G也可是其反轉G↔C,形成兩種配搭狀況、四種配搭形式,因此也有觀點認為脫氧核糖核酸應以四進制表示,後者才是正確的觀點。[2]

數據傳輸

四進制的綫路碼也有在數據傳輸應用到。從電報發明伊始,到當代電話通訊的綜合業務數字網線路中,一直用上了2B1Q英语2B1Q(雙二進位對一四進位)編碼,在傳輸訊號時以四種電壓代表四個不同的一組雙位元訊號狀況(「10」以+450 mV表示;「11」以+150 mV表示;「01」以-150 mV表示;「00」以-450 mV表示)。

參考資料

  1. ^ "Chumashan Numerals",由Madison S. Beeler著作,刊於Native American Mathematics,由Michael P. Closs (1986)編輯,國際標準書號 0-292-75531-7。
  2. ^ 2.0 2.1 http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20091102135615AA2Cqbv. [2009-11-04]. (原始内容存档于2021-04-21).  外部链接存在于|title= (帮助)

延伸閱讀

外部連結