提示 :此条目的主题不是
导子 。
在同調代數 中,阿貝爾範疇 間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子 。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。
動機
考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列 造出一個長正合序列 。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}
,及其間的加法函子
F
:
A
→
B
{\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
。假設
F
{\displaystyle F}
為左正合函子 ,換言之,對
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的任一短正合序列
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
下列序列是正合的:
0
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}
由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列?
F
{\displaystyle F}
的(右)導出函子是一族函子
R
i
F
:
A
→
B
{\displaystyle R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
,滿足
R
0
F
=
F
{\displaystyle R^{0}F=F}
,且有相應的長正合序列:
0
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
→
R
1
F
(
A
)
→
R
1
F
(
B
)
→
R
1
F
(
C
)
→
R
2
F
(
A
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots }
導出函子可以視為
F
{\displaystyle F}
的右正合性的尺度。
構造與初步性質
右導出函子
今假設
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中有充足的內射元。設
X
∈
A
{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}
,根據假設,存在內射分解 :
0
→
X
→
I
0
→
I
1
→
I
2
→
⋯
{\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }
取函子
F
{\displaystyle F}
,得到上鏈複形 :
0
→
F
(
X
)
→
F
(
I
0
)
→
F
(
I
1
)
→
F
(
I
2
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }
定義
R
i
F
(
X
)
{\displaystyle R^{i}F(X)}
為其第
i
{\displaystyle i}
個上同調群,特別是有
R
0
F
(
X
)
=
F
(
X
)
{\displaystyle R^{0}F(X)=F(X)}
。注意到兩點:
由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子
R
i
F
{\displaystyle R^{i}F}
在同構的意義下是明確定義的。
若
X
{\displaystyle X}
是內射對象,取平凡分解
0
→
X
→
X
→
0
{\displaystyle 0\to X\to X\to 0}
,可知當
i
>
0
{\displaystyle i>0}
時有
R
i
F
(
X
)
=
0
{\displaystyle R^{i}F(X)=0}
。
左導出函子
左導出函子的建構與右導出函子對偶。設
G
:
A
→
B
{\displaystyle G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
為右正合加法函子,並假設
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
有充足的射影元。對任一對象
X
∈
A
{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}
,取一射影分解 :
⋯
→
P
2
→
P
1
→
P
0
→
X
→
0
{\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}
取函子
G
{\displaystyle G}
,得到鏈複形:
⋯
→
G
(
P
2
)
→
G
(
P
1
)
→
G
(
P
0
)
→
0
{\displaystyle \cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0}
定義
L
i
G
(
X
)
{\displaystyle L^{i}G(X)}
為其第
i
{\displaystyle i}
個同調群,其性質類似右導出函子。
逆變函子的情形
對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。
長正合序列
對於右導出函子的情形,任一短正合序列
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
給出長正合序列
⋯
→
R
i
−
1
F
(
C
)
→
R
i
F
(
A
)
→
R
i
F
(
B
)
→
R
i
F
(
C
)
→
R
i
+
1
F
(
A
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots }
對於左導出函子,相應的長正合序列形如
⋯
→
L
i
+
1
G
(
C
)
→
L
i
G
(
A
)
→
L
i
G
(
B
)
→
L
i
G
(
C
)
→
L
i
−
1
G
(
C
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots }
此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:
短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。
這些性質是蛇引理 的推論。
應用
層上同調 :對拓撲空間
X
{\displaystyle X}
,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子
F
↦
Γ
(
X
,
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})}
是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子
F
↦
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
。
平展上同調 :平展上同調用於概形 上的另一種上同調理論。
Ext函子 :設
R
{\displaystyle R}
為環,考慮
R
{\displaystyle R}
-模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一
R
{\displaystyle R}
-模
A
{\displaystyle A}
,函子
H
o
m
R
(
A
,
−
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)}
為左正合的,其右導出函子記為
B
↦
E
x
t
R
i
(
A
,
B
)
{\displaystyle B\mapsto \mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)}
。
Tor函子 :同樣考慮
R
{\displaystyle R}
-模範疇,對任一
R
{\displaystyle R}
-模
B
{\displaystyle B}
,函子
−
⊗
R
B
{\displaystyle -\otimes _{R}B}
為右正合的,其左導出函子記為
A
↦
T
o
r
i
R
(
A
,
B
)
{\displaystyle A\mapsto \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)}
。
群上同調 :設
G
{\displaystyle G}
為群 。所謂
G
{\displaystyle G}
-模是指被
G
{\displaystyle G}
作用的阿貝爾群 ,
G
{\displaystyle G}
-模範疇可以理解為
Z
G
{\displaystyle \mathbb {Z} G}
-模範疇。對任一
G
{\displaystyle G}
-模
M
{\displaystyle M}
,定義
M
G
:=
{
m
∈
M
:
∀
g
∈
G
,
g
⋅
m
=
m
}
{\displaystyle M^{G}:=\{m\in M:\forall g\in G,\;g\cdot m=m\}}
,這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子
M
↦
H
i
(
G
,
M
)
{\displaystyle M\mapsto H^{i}(G,M)}
。
推廣
現代的導範疇 理論為導出函子提供了一套較廣的框架。
文獻
Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5 ; 0-521-55987-1