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2i

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2i
2i
數表高斯整數
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高斯平面上的位置
命名
名稱2i
負四的平方根
二虛數單位
性質
高斯整數分解
絕對值2[1]
以此為的多項式或函數
表示方式
2倍虛數單位
代數形式
十进制2i
-1+i进制1110100
2i进制10
高斯整數導航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數,屬於高斯整數[2]:13,為虛數單位的兩倍[2]:12,同時也是負四的平方根[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8],是方程式的正虛根[3][9]:10。日常生活中通常不會用來計量事物,例如無法具體地描述何謂個人,邏輯上個人並沒有意義。[10]部分書籍或教科書偶爾會使用來做虛數的例子或題目。[11]

高斯平面上,與相鄰的高斯整數有(上下相鄰;純虛數)以及(左右相鄰),然而複數不具備有序性,即無法判斷間的大小關係,因此無法定義何者為的前一個虛數、何者為的下一個虛數。

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相鄰的高斯整數示意圖

性質

  • 不屬於實數,是一個純虛數,同時也是複數位於複數平面,其實部為0、虛部為2[12]輻角為90度(弧度)[13],其也能表達為[14]:7[15]
  • 是一個高斯整數[16][17][18]高斯整數分解[19]:711,或[20]:433,其中,1+i2i高斯質因數[19]:711[21][22]:247
  • 所有複數的可以表達為之冪的線性組合[23]換句話說若進位制為底數,則可獨一無二地表示全體複數[24]。該進制稱為2i進制,由高德納1955年發現。[25]
  • 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以[26]換言之,則[2]:32
  • 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以的商。[27][28]:41[2]:64
  • 等於最小的質數虛數單位,即[15],其中為第個質數。
  • 虛數單位虛數單位倒數相差
  • 任意數與相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。[14]:7[2]:20-21

2i的冪

的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其會在實部和虛部交錯變換,其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中,實數項為−4的冪[30] ,虛數的正值項為16的冪的2倍[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍[32],因此這種特性使得作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數,[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路[33]

2i的平方根

平方根正好是實數單位虛數單位,即[28]:3,反過來說正好是實數單位虛數單位相加的平方,[34][35]:388。若考慮平方根的正負,則1+i−1−i都是的平方根。

相關數字

−2i

的相反數,其平方根曾提議作為複數進位制的底數。[36]

1+i

平方根[28],同時也是高斯質數[37]。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...,在正負、虛實交替變化,因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於為底數的進位制,做為底數更為適合。[38]亦有另外一個數也為的平方根,即,但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中,也沒有其他特殊的性質。此外,也不是第一象限高斯質數,因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i
−1+i
命名
名稱−1+i
性質
高斯整數分解
絕對值
表示方式
代數形式
十进制−1+i
2i进制113.2
−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

的平方根。距離原點單位,輻角135度(弧度[39]),其實部負一虛部為1。不是高斯質數,其可以分解為i1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...,其在正負、虛實交替變化,因此其可以構建一個以為底數並用1和0表達複數的進位制[36][40]。其他複數雖然也可以,,但對高斯整數而言,以為底並不是一個優良的選擇。[38]雖然也是的平方根,但因為上述原因,所以這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了外,其他形式的複數也能作為進位制底數,但其在表達數的範圍不同,以為例,其表達的範圍較為均勻,而等則會越來越狹長。[41]

−1+i進制與相關進制比較
十進制 二進制 2i進制 −1+i進制 −2+i進制
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 10 2 1100 2
−1 −1 103 11101 144
−2 −10 102 11100 143
i i 10.2 11 12
2i 10i 10 1110100 24
3i 11i 20.2 1110111 1341
i i 0.2 111 133
−2i −10i 1030 100 121
−3i −11i 1030.2 110011 13304
1+i 1+i 11.2 1110 13
1−i 1−i 1.2 111010 134
−1+i −1+i 113.2 10 11
−1−i −1−i 103.2 110 132
2+i 10+i 12.2 1111 14
2−i 10−i 2.2 111011 1440
−2+i −10+i 112.2 11111 10
−2−i −10−i 102.2 11101011 131

相鄰的高斯整數

−1+3i 3i 1+3i
−1+2i 2i 1+2i
−1+i i 1+i
相鄰的高斯整數示意圖

3i

是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數,是虛數單位的三倍,同時也是負九(−9)的平方根,與純虛數2i4i相鄰、並與高斯整數−1+3i1+3i相鄰。

的為虛數單位與質數3的乘積,其中,3也是高斯質數,因此的高斯整數分解為

−1+2i

是在虛數軸正向距離原點個單位的高斯整數,其實部為負一、虛部為2i,與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i−1+i−2+2i相鄰。

不是高斯質數,其具有高斯質因數的高斯整數分解為

1+2i

是一個高斯質數 [37],在虛數軸正向距離原點個單位,其實部為、虛部為2i,與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i1+i3+2i相鄰。

參見

參考文獻

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