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一元二次方程

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一元二次方程式是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程

例如, 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是

其中,是二次项,是一次项,是常数项。是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然,在强调了是一元二次方程之后,也可以省略不写。另外,一元二次方程式有時會出現複數根。

历史

古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年,中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言:解关于的方程

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即[1],得 

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即,得 

然后在方程的两边同时开二次方根,得 

解法

阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的

一般来说,一元二次方程有两个根。

因式分解法

把一个关于 一元二次方程变形成一般形式 后,如果 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程存在两个实根,那么它可以因式分解为

例如,解一元二次方程时,可将原方程左边分解成,所以,可解得

公式解法

对于,若,则它的两个不等实数根可以表示为

,则它的两个相等实数根可以表示为

,则它的两个共轭复数根可以表示为


公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

已知关于 的一元二次方程

①移项,得:

②二次项系数化为 ,得:

③配方,得:

因为 ,所以

,则它的两个不等实数根可以表示为

,则它的两个相等实数根可以表示为

,则它的两个共轭复数根可以表示为

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数实数复数或是任意数域中适用。

公式中的根式

應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為的數當中任何一個」。在某些数域中,有些数值没有平方根

根的判别式

对于实系数一元二次方程称作一元二次方程根的判別式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:

  • 如果,则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数,且是一个完全平方数,则这两个根都是有理数,否则这两个根至少有一个是无理数
  • 如果,则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根
  • 如果,则这个一元二次方程有两个不等的复数根,两根互为共轭复数。这时两根分别为,其中

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程

一元二次方程的根与系数的关系

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。

图像解法

,则该函数与x轴相交(有两个交点)
,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
,则该函数与x轴相离(没有交点)

一元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像(为一条抛物线)与 轴交点的坐标,即二次函数的零点

的解是交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程化为 的形式。

则方程的根,就是函数交点的横坐标。

通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据以下公式去解可以进行符号运算的程序,比如Mathematica,可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

参见

参考资料

  1. ^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. (原始内容存档于2006-02-08) (英语). 

外部連結