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不等式

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不等式數學名詞,是指表示二個量之間不等的敘述[1]。一般用两個表示式表示要探討的量,中間再加上不等關係的符號,表示兩者的關係。以下是一些不等式的例子:

有些作者認為不等式只能用來表示中間有出現不等號≠的關係式[2]

連鎖的不等式

若幾個不等式中間有共用的變數,而且幾個不等式有逻辑与的關係,有時會直接將不等式寫在一起來簡化。例如不等式

是以下不等式的縮寫

不等式的求解

一個不等聯立方程式的解集合(圖中標示feasible region的部份

含有未知數的不等式也可以求解。不等式求解和方程求解類似,是要找到使特定不等式(或是聯立不等式)成立的變數值。這些不等式中會包括稱為未知數的變數,求解不等式就是要找到使不等式滿足的未知數。更準確的說,要找的不一定是實際的值,而是較一般性的表示式。不等式的解是一組可以滿足不等式的表示式,也就是說,若將這些表示式代入未知數中,即可滿足不等式。 不等式求解時,常會加入一個額外的目標變數,要設法找到目標變數的最大值或最小值,此一問題就變成最佳化問題,要找到使目標變數最大或最小的最佳解,而不等式則是其約束條件[3]

例如

是一組不等式的組合,寫成連鎖不等式(其中可以當成and),其解的集合在附圖中的藍色區域(紅線、綠線和橘線分別對應第一個條件、第二個條件及第三個條件。)。上述問題的約束條件都是線性的,若目標函數也是線性,即屬於线性规划的範圍。

线性规划的最佳解可以用单纯形法求解[4]Prolog III 程式語言也有提供解特定不等式的演算法,是其語言的特徵之一,細節可以參考約束邏輯程式設計英语Constraint logic programming

不等式中的其他意義

因為一些函數(例如根號)的特性,有些不等式會等於一個聯立不等式。例如不等式和以下的聯立不等式相同:

參考資料

  1. ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley and Sons. 2002: 252. ISBN 0-471-15045-2. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Inequation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ Stapel, Elizabeth. Linear Programming: Introduction. Purplemath. [2019-12-03]. (原始内容存档于2023-10-27). 
  4. ^ Optimization - The simplex method. Encyclopedia Britannica. [2019-12-03]. (原始内容存档于2024-03-08) (英语). 

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