二元运算是種数学运算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說,整數的加法是二元运算,因整數相加以後仍然是整數。
定义
如果從集合 對自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都對應 裡的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。
通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算時常以某种运算符表示,來跟普通的函數作區別。
事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性。
常用性质和术语
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设 : 是集合 上的二元运算,,则:
- 称 为 在 下的左幺元,若 满足:;
- 称 为 在 下的右幺元,若 满足:;
- 称 为 在 下的幺元,若 满足: 既是 在二元运算 下的左幺元,又是 在二元运算 下的右幺元。
设: 是集合上的二元运算,,是在下的幺元。则:
- 称是在下的左逆元,若满足:。
- 称是在下的右逆元,若满足:。
- 称是在下的逆元,若满足:a既是在下的左逆元,又是在下的右逆元。(显然此时也是的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素的逆元通常记为。
设: 是集合上的二元运算,,则:
- 称为在下的左零元,若满足:;
- 称为在下的右零元,若满足:;
- 称为在下的零元,若满足:z既是在下的左零元,又是在下的右零元。
设: 是集合上的二元运算,且,是在下的零元。则:
- 称是中在下的左零因子,若满足:,使。
- 称是中在下的右零因子,若满足:,使。
- 称为在下的零因子,若满足:a既是在下的左零因子,又是在下的右零因子。
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足交换律,若满足:;
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足结合律,若满足:;
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足左消去律,若满足:
称满足右消去律,若满足:
称满足消去律,若同时满足左消去律与右消去律。
设: 是集合上的二元运算,则:
称满足幂等律,若满足:;
幂幺律
设: 是集合上的二元运算,i是在下的幺元,
则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);
幂零律
设: 是集合上的二元运算,z是在下的零元,
则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);
设: 和: 是集合上的两个二元运算,则:
- 称对 满足左分配律,若, 满足:,有;
- 称对 满足右分配律,若, 满足:,有;
- 称对 满足分配律,若對 滿足左分配律以及右分配律;