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二元运算

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二元运算是種数学运算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西,即元数为2的运算。比如說,兩個整數的加法是二元运算,因整數相加以後仍然是整數。

定义

二元運算的定義 — 一個集合 上的二元运算是一個定義域是 對應域 函数

如果從集合 對自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都會對應 的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。

通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算時常以某种运算符表示,來跟普通的函數作區別。

事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

是集合 上的二元运算,,则:

  • 为一個 左幺元,若 满足:
  • 为一個 右幺元,若 满足:
  • 幺元,若 既是左幺元、又是右幺元。

是集合 上帶有單位元 的二元运算, 。则:

  • 是一個 左逆元,若 满足:
  • 是一個 右逆元,若 满足:
  • 逆元,若 既是 左逆元、又是 右逆元。這種情況下 常被寫作

是集合 上的二元运算, ,则:

  • 为一個左零元,若 满足:
  • 为一個右零元,若 满足:
  • 零元,若 既是左零元、又是右零元。

是集合 上的帶有零元素 的二元运算, 。则:

  • 是一個左零因子,若 满足: ,使得
  • 是一個右零因子,若 满足: ,使得
  • 是一個零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。

是集合 上的二元运算,则: 称 满足交换律,若:

是集合 上的二元运算,则: 称 满足结合律,若:

: 是集合上的二元运算,则:

满足左消去律,若满足:

满足右消去律,若满足:

满足消去律,若同时满足左消去律与右消去律。

: 是集合上的二元运算,则: 称满足幂等律,若满足:

幂幺律

: 是集合上的二元运算,i是下的幺元, 则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

: 是集合上的二元运算,z是下的零元, 则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

: : 是集合上的两个二元运算,则:

  • 满足左分配律,若 满足:,有
  • 满足右分配律,若 满足:,有
  • 满足分配律,若 同時滿足左分配律和右分配律。