在線性代數 中,若二次型 (quadratic form)中的項並非平方項 ,也就是說包含超過一個變數 ,這個項被稱為交叉項 (cross-term)。
在信号处理 領域中,交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素(信號 ),與之相對的則是自身項(auto-term),自身項中只包含一個元素。
通常在進行時頻分析 時,我們都會希望盡量避免交叉項的產生,因為交叉項會使得多個訊號 疊加的時頻分布的圖形變得難以解讀,不同訊號之間也會難以分離。
線性代數中的交叉項
令
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
,
n
{\displaystyle n}
是自然數 ,假設我們要展開
(
x
+
y
)
T
(
x
+
y
)
{\displaystyle (x+y)^{T}(x+y)}
,則經過計算可以得到:
(
x
+
y
)
T
(
x
+
y
)
=
x
T
x
+
y
T
x
+
x
T
y
+
y
T
y
=
|
|
x
|
|
2
+
2
(
x
⋅
y
)
+
|
|
y
|
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{T}(x+y)&=x^{T}x+y^{T}x+x^{T}y+y^{T}y\\&=||x||^{2}+2(x\cdot y)+||y||^{2}\end{aligned}}}
其中
|
|
x
|
|
2
{\displaystyle ||x||^{2}}
和
|
|
y
|
|
2
{\displaystyle ||y||^{2}}
都屬於自身項,因為它們分別只包含了一個變數;
2
(
x
⋅
y
)
{\displaystyle 2(x\cdot y)}
則是交叉項,因為它包含了
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
兩個元素。
韋格納分布的定義如下:
W
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
+
τ
2
)
x
∗
(
t
−
τ
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
⋅
d
τ
{\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }
其中
x
{\displaystyle x}
代表原始訊號、
t
{\displaystyle t}
是轉換後的時間軸座標、
f
{\displaystyle f}
是轉換後的頻率軸座標。若我們設
x
(
t
)
=
α
g
(
t
)
+
β
s
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)}
,並將韋格納分布的公式展開如下:
W
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
+
τ
2
)
x
∗
(
t
−
τ
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
⋅
d
τ
=
∫
−
∞
∞
[
α
g
(
t
+
τ
2
)
+
β
s
(
t
+
τ
2
)
]
[
α
∗
g
∗
(
t
−
τ
2
)
+
β
∗
s
∗
(
t
−
τ
2
)
]
e
−
j
2
π
τ
f
⋅
d
τ
=
∫
−
∞
∞
[
|
α
|
2
g
(
t
+
τ
2
)
g
∗
(
t
−
τ
2
)
+
|
β
|
2
s
(
t
+
τ
2
)
s
∗
(
t
−
τ
2
)
+
α
β
∗
g
(
t
+
τ
2
)
s
∗
(
t
−
τ
2
)
+
α
∗
β
g
∗
(
t
−
τ
2
)
s
(
t
+
τ
2
)
]
e
−
j
2
π
τ
f
⋅
d
τ
=
|
α
|
2
W
g
(
t
,
f
)
+
|
β
|
2
W
s
(
t
,
f
)
+
∫
−
∞
∞
[
α
β
∗
g
(
t
+
τ
2
)
s
∗
(
t
−
τ
2
)
+
α
∗
β
g
∗
(
t
−
τ
2
)
s
(
t
+
τ
2
)
]
e
−
j
2
π
τ
f
⋅
d
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}})+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}{\big [}\alpha ^{*}g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}|\alpha |^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+|\beta |^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})\\&\quad +\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}}
其中
W
g
{\displaystyle W_{g}}
和
W
s
{\displaystyle W_{s}}
就是自身項,剩下的積分項就是交叉項。
參見
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.