八次函数的图,有8个实数根(穿过X轴)和7个临界点。一般来说,取决于局部极值的数量和垂直位置,实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量 。
八次方程[1]是可以用下式表示的方程
![{\displaystyle ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39534e9fc95b5ba79fcc6d222e0d6d95a70a948)
其中a ≠ 0。
而八次函数是可以用下式表示的函数:
换句话说,八次函数也就是次数为8次的多项式,若a = 0,则多项式最多只为是七次函数。
若令八次函数f(x) = 0,即可得到八次方程。
八次方程的系数a, b, c, d, e, f, g, h, k可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。
由于一个八次函数是由偶数多项式定义,当变元往正值或负值无穷时,它拥有一样的無窮的極限。如果首项系数a是正值,那么函数在两边增加到正无穷大;因此该函数具有全域極小值。同样地,如果a是负值,八次函数减少到负无穷大和具有全域極大值。八次函数的导数是七次函数。
八次方程求根
透过阿贝尔-鲁菲尼定理,就其参数而言没有一般的代數式能解八次方程。然而,一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。
普通的,具有正值k的形式的八次方程
具有解
其中
是在复平面中第i个1的8次方根。
可以通过因式分解或在变量x4中
应用二次方程来求解形式的八次方程。
得出
可以使用变量x2中的四次方程
令
得出四次方程
得出
应用
在某些情况下(如通过垂直线划分成四个相等面积的区域),一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。[2]
参见
參考資料
- ^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171 (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- ^ http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf (页面存档备份,存于互联网档案馆) Carl Eberhart, “Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli”, Forum Geometricorum 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).