圓錐坐標系

圓錐坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $r=2$ 。錐軸為 z-軸的藍色圓錐面的 $\mu =\cosh(1)$ 。錐軸為 x-軸的黃色圓錐面 $\nu ^{2}=2/3$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(1.26,\ -0.78,\ 1.34)$ 。

圓錐坐標系（英語：Conical coordinates）是一種三維正交坐標系。它的三個坐標曲面分別為同心圓球面，錐軸為 x-軸的圓錐面，錐軸為 z-軸的圓錐面。

基本定義

圓錐坐標 $(r,\ \mu ,\ \nu )$ 通常定義為

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$ 、

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$ 、

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$ ；

其中，$0\leq r<\inf$ ，$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}$ 。

坐標曲面

$r$ 坐標曲面是圓心在原點的圓球面：

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ 。

$\mu$ 與 $\nu$ 坐標曲面是兩個相交的圓錐面：

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$ 、

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0$ 。

標度因子

如同球坐標系，徑向坐標 $r$ 的標度因子是

$h_{r}=1$ 。

坐標$\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子分別是

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$ 、

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}$ 。

參考目錄

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 659. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 183–184.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: pp. 991–100.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 118–119. ASIN B000MBRNX4.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 37–40 (Table 1.09). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)