拉姆齐理论
拉姆齊理論得名自英國數學家兼哲學家弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊,是數學的一支,在大而無迭序的結構中尋找必然出現的有迭序的子結構。拉姆齊理論研究的典型問題形如:「某某結構要何等大,才能保證具有某某性質?」更具體而言,葛立恆稱拉姆齊理論為「組合數學的分支」。[1]
例子
拉姆齊理論的典型例子中,先有某個數學結構,然後該數學結構會切成若干小份,問題是原結構要多大,才能保證不論切法為何,仍有某一份具有指定的性質。此想法帶出分劃正則性的嚴格定義。
例如,考慮階完全圖,即有個頂點,每個頂點皆與其餘個頂點各以一條邊相連。階完全圖稱為三角形。現將逐條邊染紅或藍。至少為何,才能保證總有一個同色(全紅或全藍的)三角形?答案為。拉姆齊定理的條目有此結論的嚴格證明。
換言之:若任一個宴會上有至少六人,則必有三人,該三人或兩兩互為朋友,或兩兩互為陌生人。此版本又稱朋友與陌路人定理。
上述結論為拉姆齊定理的特殊情況。該定理斷言,給定正整數,及正整數,則必存在某個正整數,使得不論階完全圖的邊如何染成種顏色,仍有某個,令包含某個所有邊皆為顏色的階同色完全子圖。取和即得上段的特殊情況。
成果
拉姆齊理論的著名定理有:
- 范德瓦爾登定理:對任意,必有某個,使得:若將個連續正整數染成種顏色,則必有長度為的同色等差數列。
- 黑爾斯-朱威特定理 :對任意和,必有某個使得:若將維的立方體中,每個單位立方體染色之一,則必有某個方向(允許某些特定的斜向)的連線上,全部個小立方體皆同色。換言之:在多人版過關(井字過三關的推廣)中,不論玩家人數為何,也不論為何,只要維數足夠高,則必有一人先獲勝,而不可能出現平局。該定理可推出范德瓦爾登定理。
與范德瓦爾登定理類似的還有舒爾定理:給定任意,總有某個,使得:若將染成種色,則其中必有兩個數 ,使得三個數同色。此定理有許多推廣,如:雷多定理、雷多-福克曼-桑德斯定理、海恩德曼定理、米利肯-泰勒定理。關於上述結果(及許多其他結果)的參考書有葛立恆、布魯斯·羅斯柴爾德、喬爾·斯賓塞、紹利莫希·約瑟夫合著的《拉姆齊理論》(Ramsey Theory),該書於2015年曾更新擴展[2]
特點
拉姆齊理論的結果通常有以下兩個特點:
非構造性
可能證明了某個結構存在,但卻並無給出構造該個結構的方法(除暴力搜索外)。例如,過程中可能採用鴿巢原理,便是非構造性的。
界極大
雖然拉姆齊理論的結果斷言充份大的物件必定包含某個指定的結構,但證明經常要求該物件極巨大:常見指數增長甚至阿克曼函數增長的界。對某些小情況,已找到更好的上下界,但一般而言該些界未能改進。一些情況下,該些巨大的界是證明方法所遺留的,而無人知道能否實質改進。另一些情況下,已知任何界都必須異常大,甚至大於任何原始遞歸函數,例見帕里斯-哈靈頓定理。著名大數葛立恆數也是與拉姆齊理論有關的問題的上界。也有另一意義下巨大的例子:二染色畢氏三元組問題的證明有200 TB長。[3]
定理分類
拉姆齊理論的成果可粗略分為兩類:
拉姆齊類
若干定理與拉姆齊定理類似,斷言某個大結構中,不論如何分劃,都必有一塊包含大的子結構,但不能得知該子結構位處何塊。
圖蘭類
有時,某條拉姆齊類定理背後的原因很簡單:最大的分塊必然包含所求的子結構。此類結果稱為密度結果或圖蘭類結果,得名自圖蘭定理。著名例子有塞邁雷迪定理(范德瓦爾登定理的圖蘭類加強)以及黑爾斯-朱威特定理的密度版本。[4]
參見
參考資料
- ^ Graham, Ron; Butler, Steve. Rudiments of Ramsey Theory 2nd. American Mathematical Society. 2015: 1. ISBN 978-0-8218-4156-3 (英语).
- ^ Graham, Ronald L.; Rothschild, Bruce L.; Spencer, Joel H.; Solymosi, József, Ramsey Theory 3rd, New York: John Wiley and Sons, 2015, ISBN 978-0470391853 (英语).
- ^ Lamb, Evelyn. Two-hundred-terabyte maths proof is largest ever. Nature. 2016-06-02, 534 (7605): 17–18. PMID 27251254. doi:10.1038/nature.2016.19990
(英语).
- ^ Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak, A density version of the Hales–Jewett theorem, Journal d'Analyse Mathématique, 1991, 57 (1): 64–119, doi:10.1007/BF03041066 (英语).