在数学与数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量或闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个
张量变成一个
张量(上升)或一个
张量(下降)。 这里记号
用于表示张量的秩
,有
个上指标和
个下指标。
可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做缩并。下文在对重复指标
求和时使用爱因斯坦记号。
乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标:
![{\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5b2532c4f30e47590034a9c82936078cbda6b1)
而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标:
![{\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7578987ce8cf5e6332c838abe77c6bfaa2266ceb)
对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆:
![{\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f970a8224e9da55d619665c3b578502ec32c0ef4)
这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。
广义相对论中的例子
闵可夫斯基空间具有度量张量
![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b40769e2bfa60e3993810a2e704cdf31db05c7)
共变电磁张量由下式给出
![{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dcd26658f9b0dc225888995525c0d61b276834)
- 注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号,参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c;他们使用高斯单位,这里使用国际单位制。
为了得到共变张量
,我们用
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be40dc330a55478de476676ee6112ee30ed6e70d)
注意因为
是对角的,上式中许多项其实没有:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e6f0ec8a0ecd42caea76d21288bbb22c0967f9)
对指标 1、2、3 使用拉丁字母:
![{\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd48e3c5b78d844bb9e86e004b0cb0c96cef3ef3)
因为度量张量中的因子都是 -1。
![{\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b3e709499a6c53ce14a8596d1ba89ffad6cfda)
![{\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9ac87db269e7bc5a861253db0ebe558510cb94)
类似
![{\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25b39649cbfe2a241f58680c160b94c7b2458df)
将它们放在一起,我们得到:
![{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1ef5d8db9cc53f6b142fb774e91de8a09ac8a6)
参考文献
相关条目