在数学中,狄利克雷边界条件(Dirichlet boundary condition)也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”,指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。
例子
常微分方程
在常微分方程情况下,如
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ba9010f0b427a03d6fd98c5b136cdd8b3ea77c)
在区间
,
狄利克雷边界条件有如下形式:
![{\displaystyle y(0)=\alpha _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a184ab02487078fcc0b20b0049453d46373e436)
![{\displaystyle y(1)=\alpha _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1b839f87be81960160bb64090ec9e09870d29c)
其中
和
是给定的数值。
偏微分方程
一个区域
上的偏微分方程,如
![{\displaystyle \Delta y+y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3f1ebb2b37be624440141e151c03f3e461a039)
其中
表示拉普拉斯算子,狄利克雷边界条件有如下的形式
![{\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3bf5f8fbe0c3c0e66dedab818a7fbea6db402f)
其中
是边界
上给定的已知函数。
工程应用
在热力学中,第一类边界条件的表述为:“将大平板看成一维问题处理时,平板一侧温度恒定。”
半无限大物体在导热方向上,当其边界温度一定为第一类。数学描述为:
参见