狄拉克算子
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在数学和量子力学中,狄拉克算子(英語:Dirac operator)是一个微分算子,它是二阶微分算子(如拉普拉斯算子)的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子,得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式;为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子,他引入了旋量。
形式定义
一般的,令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果
其中∆是V上的拉普拉斯算子,则D被称为狄拉克算子。
在高能物理中,这个条件经常被放松:只有D2的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。
例子
例1: D=-i∂x是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。
例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛:一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间,这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R2→C2
其中x和y是R2上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅,η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为
其中σi 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。
旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。
例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为
其中用到费曼斜线标记。
例4: 在克利福德分析中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是
其中{ej: j = 1, ..., n}是n维欧几里得空间的标准正交基,考虑Rn嵌入一个克利福德代数。
这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。
例5: 对于一个自旋流形,M,阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下:对于x∈M和M在x处的切空间的局部标准正交基e1(x), ..., ej(x),阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是
- ,
推广
在克利福德分析中,算子D: C∞(Rk ⊗ Rn,S)→C∞(Rk ⊗Rn,Ck ⊗S)作用在如下定义的旋量值函数
有时被称为k克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中,是旋量空间,S是旋量空间, 是n维变量,是狄拉克算子在第i个变量的分量。这是狄拉克算子(k=1)和杜比尔特算子(n=2,k 任意)的一般推广。这是一个不变微分算子,在群SL(k)×Spin(n)的作用下不变。D的分解只在一些特殊情形是已知的。
另请参阅
参考资料
- Friedrich, Thomas, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1
- Colombo, F., I.; Sabadini, I., Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, 2004, ISBN 978-3-7643-4255-5