此條目介紹的是範疇之間的運算。关于範疇內物件的運算，请见「
積 (範疇論) 」。
數學 分支範疇論 中，兩個範疇
C
,
D
{\displaystyle {\mathcal {C,D}}}
積 ，是集合 的笛卡兒積 的延申。乘積以
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}
積範疇 [1] product category ）。定義雙函子及多函子 時，要用到積範疇。
定義 積範疇
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}
物件 ，為
有序對
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
B
{\displaystyle B}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
態射 ，由物件
(
A
1
,
B
1
)
{\displaystyle (A_{1},B_{1})}
(
A
2
,
B
2
)
{\displaystyle (A_{2},B_{2})}
有序對
(
f
,
g
)
{\displaystyle (f,g)}
f
:
A
1
→
A
2
{\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
g
:
B
1
→
B
2
{\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
態射間的複合運算，是逐個分量的複合：
(
f
2
,
g
2
)
∘
(
f
1
,
g
1
)
=
(
f
2
∘
f
1
,
g
2
∘
g
1
)
;
{\displaystyle (f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});}
物件上的恆等態射，由各分量上的恆等態射組成：
1
(
A
,
B
)
=
(
1
A
,
1
B
)
.
{\displaystyle 1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).}
與其他概念的關係 兩個小範疇 小範疇範疇
C
a
t
{\displaystyle \mathbf {Cat} }
乘積 。定義域為積範疇的函子 ，也稱為雙函子 Hom函子
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
對偶範疇
C
o
p
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
H
o
m
:
C
o
p
×
C
→
S
e
t
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .}
多個範疇之積 正如二元笛卡兒積 可以推廣到n 元笛卡兒積
n
{\displaystyle n}
不別同構之異 ，則二元範疇積可交換 及可結合 ，故此
n
{\displaystyle n}
參考文獻 引用 来源 
