等諧数列,又名調和数列(英文:harmonic sequence 或 harmonic progression),是数列的一种。在等諧数列中,任何相邻两项倒數的差相等,该差值的倒數称为公諧差(common harmonic difference)。
例如数列:
- 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...
就是一个等諧数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公諧差都等于 1/2。
性質
如果一个等諧数列的首项記作 a,公諧差記作 h,那么该等諧数列第 n 项 an 的一般項为:
換句話說,任意一個等諧数列 {an} 都可以寫成
在一個等諧數列中,給定任意兩相連項 an+1 和 an ,可知公諧差
給定任意兩項 am 和 an ,則有公諧差
此外,在一個等諧数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之倒數和,為原來該項倒數的兩倍。舉例來說,。
更一般地說,有:
證明如下:
證畢。
從另一個角度看,等諧數列中的任意一項,是其前一項和後一項的調和平均:
此結果從上面直接可得。
如果有正整數 m, n, p, q,使得 ,那么则有:
證明如下:
由此可將上面的性質一般化成:
其中 k 是一個小於 n 的正整數。
給定一個等諧數列 ,則有:
- 是一個等諧數列。
- 是一個等差數列。
等諧数列和
一個等諧數列的首 n 項之和,稱為等諧数列和(sum of harmonic sequence)或調和級數(harmonic series),記作 Sn。
舉例來說,等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。
等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分,可對數列和以數值積分作估算:
公式證明如下:
最後一步,使用了等比數列的求和公式。
使用上面的例子,對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} :
結果相等。
從這公式中容易看出,等諧級數是發散的。
等諧数列积
一個等諧數列的首 n 項之積,稱為等諧数列積(product of harmonic sequence),記作 Pn。
舉例來說,等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。
等諧数列積的公式可以Γ函數表示:
證明如下:
這裡使用了等差數列的求積公式。
使用上面的例子,對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} :
結果相等。
参见
参考文献