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相亲数

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相亲数(Amicable numbers),又称亲和数友愛數友好數,指兩個正整數中,彼此的全部正约数之和(本身除外)与另一方相等。毕达哥拉斯曾說:“朋友是你灵魂的倩影,要像220284一样亲密。”

每一對親和數都是過剩數虧數,較小的是過剩數,較大的是虧數

例如220与284:

  • 220的全部正因数(除掉本身)相加是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • 284的全部正因数(除掉本身)相加的和是:1+2+4+71+142=220

親和數中可輕易推出,一方的全部正因數之和與另一方的全部正因數之和相等。(此敘述不可逆,不能用來判斷是否為親和數)

  • 220的全部正因數之和是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
  • 284的全部正因數之和是:1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十個相親數是:(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285,14595), (17296,18416),(63020,76084)和(66928,66992)……(OEIS數列A259180)。 (另見OEISA002025OEISA002046

历史

  • 320年左右,古希腊毕达哥拉斯发现的220与284,是人类认识的第一对相亲数.
  • 约850年,阿拉伯数学家塔別脫·本·科拉就發現了相亲数公式,後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
  • 1636年,費馬发现了另一对相亲数:17296和18416。
  • 1638年,笛卡儿也发现了一对相亲数:9363584和9437056。
  • 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年,他一口气向公众抛出了60对相亲数:2620和2924,5020和5564,6232和6368,……,从而引起了轰动。
  • 1866年,年方16岁的意大利青年巴格尼尼(並非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼)发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
  • 目前,人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对,相亲数的两个数是否都是或同是奇数,或同是偶数,而没有一奇一偶等,这些问题还有待继续探索。

尋找方法

歐拉法則

對於正整數。若均為質數,則是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對,但時沒有其他符合的數對。

塔別脫·本·科拉法則

這是歐拉法則的特殊情況:第塔別脫·本·科拉數。若均為質數,則是相親數。

其他

  • 在目前所有已知的情況下,相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在,但若存在,則偶數必須為完全平方數或其兩倍,且奇數也必須是完全平方數
  • 目前已知存在7對具有不同的最小質因數的相親數。[1]
  • 在目前所有已知的情況下,相親數皆具有質公因數。目前不知道是否存在互質的相親數。若存在,兩者乘積必大於1067.[來源請求]
  • 1955年,艾狄胥·帕爾(PaulErdős)說明相親數相對於正整數的密度為0。[2]

参看

延伸阅读

  1. ^ Amicable pairs news. [2022-11-21]. (原始内容存档于2021-07-18). 
  2. ^ Erdős, Paul. On amicable numbers (PDF). Publicationes Mathematicae Debrecen. 1955, 4: 108–111. (原始内容存档 (PDF)于2022-10-09).