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階冪

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數學中,正整数的階冪(英語:expofactorialexponential factorial)是所有小於及等於該數的正整數,記作 n$ ,例如:

階冪是階加階乘冪運算上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... (OEIS數列A049384

階冪的增長率比階乘,甚至過級階乘還要快。到了5的階冪,已經是

定義

一般地說,對於正整數 n

從上述公式中,可以推導出遞歸關係

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立,例如:

非正整數的擴展

階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘,階冪的定義域從正整數推廣到實數複數的過程中,遇到了困難。

疊代冪次相似,由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義, 並未定義。階冪亦不像階乘般,存在如伽瑪函數一樣的函數,作為其對實數以至複數的擴展。

變化

雙階冪

類比於雙階乘,能夠為正整數 n 定義雙階冪(double expofactorial)。

單數

雙數

多重階冪

雙階冪能進一步推廣為多重階冪(multiple expofactorial)。 被称为 nm 重階冪,定义为

例如,

超級階冪

類比於由尼爾·斯洛恩西蒙·普勞夫定義的超級階乘,我們能定義超級階冪(superexpofactorial)為首 n 個階冪的疊冪,記作

例如,

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...
第四个超級階冪值約為

過級階冪

過級階冪(hyperexpofactorial)寫作 ,其定義為

其中 表示疊代冪次

例如,

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
第四个過級階冪值約為

倒數階冪

倒數階冪(reciprocal expofactorial)是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪:

階冪的和及積

n 個階冪的和為

n 個階冪的積為

以上兩個數值的增長率,要比階冪本身還要快。


n 個階冪倒數的和為

n 趨向無窮大,其值收斂於 。(OEIS數列A080219

參見

參考文獻