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鸡兔同笼

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鸡兔同笼问题是中国古代一道算术问题,最早可以追溯至南北朝时期的數學著作《孙子算经》,属于一次方程组问题。

雞兔同笼

鸡兔同笼类似的问题第一次出现是在《孙子算经》的下卷中的一道算题:

今有雞、兔同籠,上有三十五頭,下九十四足。問雉、兔各幾何?

用现代汉语表示,就是:「现在笼子里有鸡(雉)和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头,从下面数一共有九十四只脚,问一共有多少只鸡、多少只兔子?」

在同一本书中也记载了解法:

上置三十五頭,下置九十四足。半其足,得四十七。以少減多。

也就是说,将脚的总数九十四除以二得到四十七,然后减去头数三十五就得到兔子的数目,然后自然可以得到鸡的数目。

原理

《孙子算经》中的解法思路是:首先将所有动物的脚数除以二,这样每只鸡将仅有一只脚,每只兔子将仅有两只脚。这样,鸡的脚数和头数一样,而每只兔的脚数比头数多一。如果所有的动物都是鸡的话,那么将仅有三十五只脚了,但事实上有四十七只脚。而每将一只鸡换成一只兔子的话,就会使得脚的数目增加一。于是用四十七减去三十五,就可以知道有多少只鸡被换成了兔子(也就是兔子的数目)。答案是十二只。

假设法:35头说明鸡和兔共35只,假设35只全为鸡,则应有(35×2)=70只足,实则94只足,还差94-70=24只足,兔子4只足,鸡2只足,一只鸡换成一只兔子可以补上2只足,现需补上24只足,也就是需鸡换兔24÷2=12只,只数不变,足补齐94只,即兔子12只,鸡23只,实际上这其实是二元一次联立方程式用消元求法求X的方法。

以代數方式計算

總數為兔子(x)和雞(y)的頭數相加共35隻。


一隻兔子比一隻雞多兩隻腳:


若全部是雞的話,極限會有70隻腳。


事實上多出了24隻兔腳。


24隻兔腳代表其中有12隻雞是兔子偽裝的,所以兔子是12隻。


兔子有12隻,那雞就有23隻。

参考来源