Youla-Kucera参數化(Youla–Kučera parametrization)也稱為Youla参數化(Youla parametrization)或是YK参數化,是控制理论中一個參數化的公式,描述所有針對一受控體P的所有可能穩定回授控制器,表示為單一參數Q的函數。
細節
YK参數化是通用的結果,是控制理論的基礎結果,不過在新的研究領域(如最佳控制及強健控制中)也有其應用[1]。
為了方便瞭解其概念,先用簡單的例子舉例,再慢慢擴展,這也是Kučera的作法。
穩定的SISO系統
令
為穩定單一輸入單一輸出(SISO)系統的傳遞函數。再令Ω是s的穩定proper函數的集合。則所有可以讓系統
穩定的proper控制器可以定義如下:
,
其中
是任意s的穩定proper函數。也可以說
參數化了所有可以讓系統
穩定的控制器。
一般SISO系統
考慮一系統其傳遞函數為
,且此傳遞函數可以分解為
,其中M(s)和N(s)是s的穩定proper函數。
求解下式的貝祖等式
,
其中待解的變數(X(s), Y(s))也要是穩定proper函數。
在找到穩定proper的X和Y後,可以定義穩定化控制器為
。在找到一個穩定化控制器後,可以用一個穩定proper的參數Q(s)來定義所有穩定化控制器,其集合為
,
一般MIMO系統
在多重輸入多重輸出(MIMO)系統中,考慮傳遞矩陣
。可以用右互質因式
或左因式
來分解。因式需要是穩定、proper及雙重互質,因此確保系統P(s)是可控制且可觀察的。可以用貝祖等式寫成下式
.
在找到穩定proper的
後,可以用左因式或是右因式定義所有可穩定的控制器K(s)(假設存在負回授):
其中
是任意的穩定proper參數。
令
是系統的傳遞函數,且
是一個穩定化的控制器,其右互質分解為:
![{\displaystyle \mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46ba42b3a08e2d6cd91b9e22ccf30cc6d0a16eb)
![{\displaystyle \mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf88b83f45b00f0263a3f7052ea771ed81e3a558)
則所有的穩定控制器可以寫成
![{\displaystyle \mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0961b52bf513e4e030f6f4d02a16730a67533b1f)
其中Q是穩定且proper的函數[2]
YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定準則的可穩定控制器,可以調整Q來符合想要的準則。
參考資料
- D. C. Youla, H. A. Jabri, J. J. Bongiorno: Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers: part II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
- V. Kučera: Stability of discrete linear feedback systems. In: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
- C. A. Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
- John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedback control theory. (1990). [2] (页面存档备份,存于互联网档案馆)