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五边形镶嵌

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已知的15种凸五边形镶嵌

几何学中,五边形镶嵌是指用五边形镶嵌平面。

正五边形不能镶嵌平面,因为其内角是108°,不能整除360°。截至2015年 (2015-Missing required parameter 1=month!),已知有15种凸五边形镶嵌平面。2017年5月,里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在上述的15种凸五边形镶嵌平面情况。[1]

历史

Reinhardt (1918)发现了“镶嵌块传递”(tile transitive)的5种五边形镶嵌,即是说镶嵌的对称性可以将任何一块带到任何另一块(用数学语言描述,镶嵌的自同构群作用在镶嵌块上是可递的。)Kershner (1968)发现了3种新的五边形镶嵌,都不是镶嵌传递的;他错误声称已经找出所有的五边形镶嵌。1975年Richard E. James III找到第9种。Schattschneider (1978)描述业余数学家玛乔里·赖斯在1976至1977年间找到新的4种五边形镶嵌。Schattschneider (1985)描述Rolf Stein在1985年找到的第14种五边形镶嵌。Bagina (2011)证明边对边(edge-to-edge)的凸五边形镶嵌只有8种,Sugimoto (2012)独立证出同一结果。2015年,华盛顿大学数学家Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau发现了第15种五边形镶嵌,使用了电脑算法搜寻。[2]

五边形的性质

15种凸五边形镶嵌平面
1 2 3 4 5

B+C=180°
A+D+E=360°

c=e
B+D=180°

a = b, d = c + e
A = C = D = 120°

b = c, d = e
B = D = 90°

a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
6 7 8 9 10

a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E

b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°

b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°

b = c = d = e
2A + C = D + 2E = 360°

a = b = c + e
A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11 12 13 14 15

2a + c = d = e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°

2a = d = c + e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°

d = 2a = 2e
B = E = 90°, 2A + D = 360°

2a = 2c = d = e
A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°,
D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68°
(2B + C = 360°, C + E = 180°).

a = c = e, b = 2a
A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

参考文献

引用

  1. ^ Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF). [2017-07-19]. (原始内容存档 (PDF)于2020-11-12). 
  2. ^ Bellos, Alex. Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile. The Guardian. 11 August 2015 [2015-08-18]. (原始内容存档于2015-08-18). 
引用错误:在<references>标签中name属性为“NPR”的参考文献没有在文中使用

来源

外部链接

参见