克莱因-戈尔登方程(Klein-Gordon equation)是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程,它是薛定谔方程的狭义相对论形式,用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。
陈述
克莱因-戈尔登方程为
。
很多时候会用自然单位(c=ħ=1)写成
![{\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe600fb3e660b86ab785d666e8146debb61e14e)
由于平面波为此方程已知的一组解,所以方程形式由它决定:
![{\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7cda4b239a54d17294cf1c02d811e162324a22)
遵从狭义相对论的能量动量关系式
![{\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94c2505462240770a1996fcdd60b395e76b2b1b)
跟薛定谔方式不同,每一个k在此都对应着两个
,只有通过把频率的正负部分分开,才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变,则其形式为
。
相对论量子力学下的形式推导
自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程:
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f70ea50fd8d590f2ffb4e501e95b9cea443305)
其中
是动量算符。
薛定谔方程并非相对论协变的,意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。
利用狭义相对论中的相对论能量公式
替换薛定谔方程左边的动能
项,最终可得它的协变形式:
![{\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e02f70b3c0a8976f747f94f9cc23c9bfc9c28a6)
其中
,达朗贝尔算符
.
从相对论量子力学的观点来看,达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的波方程。
量子场论下的形式推导
场论中,对于自旋为零的场(标量场),拉格朗日量被写成
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5b64228023aa4b3639c6ff0fcd38c39d493660)
这里依照量子场论的习惯选取了自然单位,将光速
和普朗克常数
都取作1。
代入欧拉-拉格朗日方程
可直接得到克莱因-戈尔登方程。
从量子场论的观点来看,以上推导过程都在经典场论的范围之内,因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的场方程。
自由粒子解
相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念,但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的平面波解:
![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ca2bb75165cac454dc4ca36a5f4bd0c847f1e8)
其中
从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为
![{\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe08c50777e0439ecbb71df37150f3eeece7c86)
因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时,由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程,但这个方程仍然没有避免出现负能量。
行波解
克莱因-戈尔登方程有行波解[1]
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Klein Gordon equation traveling wave plot4
-
Klein Gordon equation traveling wave plot5
-
Klein Gordon equation traveling wave plot6
参见
参考资料
- ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer
参考文献