卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列,他既研究了这个数列,也研究了有密切关系的斐波那契数。与斐波那契数一样,每一个卢卡斯数都定义为前两项之和,也就是说,它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
但是,最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。
卢卡斯数可以定义如下:
![{\displaystyle L_{n}=L(n)={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eafa2a8c279d4121b1b6d20e1bcf9a02ecc544)
前几个卢卡斯数是:
- 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (OEIS数列A000032)
延伸到负数
用Ln-2 = Ln - Ln-1的公式,我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列:
(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)
一般地,我们有
![{\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0b110d9c10a08c19f2106f6e5a4cf11b8a14c8)
与斐波那契数的关系
卢卡斯数与斐波那契数有以下关系:
![{\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc47b7453529263e8cb602ff1583386fc71c916)
,因此,当
趋近于无穷大时,
趋近于
。
![{\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e4162fa3d63b41229dc5ac88f81bf04b63bf10)
![{\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4c5a209de79dab82f0b63aee728536f58949a5)
通项公式为:
![{\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb560884b301a295339a5674eb4f4f2ec81295ab)
其中
是黄金分割比。
同余关系
如果n是素数,则Ln被n除余1,但某些合数也具有这个性质。
卢卡斯素数
卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为:
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... (OEIS数列A005479)
除了n = 0、4、8、16的情况外,如果Ln是素数,则n是素数。但是,它的逆命题不成立。
参考
参考文献
- Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
- Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).
外部链接