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可加范畴

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范畴论中,一个可加范畴是一个存在有限双积预加法范畴。旧文献所谓的“可加范畴”有时指预可加范畴,在当代理论中则倾向于区别两者。

一如预可加范畴,对一交换环也能定义-可加范畴,可加范畴是的情形。

例子

最直接的例子是交换群范畴Ab,此时的有限双积即群的有限直积。其它常见例子包括:

基本性质

加法范畴是预可加范畴的特例,因此具有预可加范畴的性质,在此仅考虑可加范畴对双积的特性:

首先注意到空双积存在,称为零对象,记作;它同时是范畴中的始对象终对象

给定加法范畴中的对象,考虑与自身的双积;透过双积的射影与内射态射,能够以矩阵表示从的态射;若取,则态射的合成对应于方阵乘法。

可加函子

一个预加法范畴间的函子若在同态集上给出群同态,则称作可加函子。如果还是可加范畴,而且保存双积的交换图,则称之为(可加范畴间的)可加函子。换言之:

中的双积,设为相应的投影而为相应的内射,则的双积,使得为相应的投影而为相应的内射。

可加范畴间常见的函子都是可加函子。事实上,可以证明加法范畴间的伴随函子都是可加函子,而范畴论中的重要函子多以伴随函子的面貌出现。

特殊例子

应用最广的可加范畴通常都是阿贝尔范畴。

文献

  • Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.(已绝版) 该书对此主题有仔细介绍