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可平行化流形

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数学中,一个 n光滑流形 M可平行化流形 是指具有向量场

V1, ..., Vn,

使得在 M 中任何一点 P切向量

Vi, P

组成 P切空间的一组。等价地说,切丛平凡丛,所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。

选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化绝对平行化

例子

n=1 的一个例子是圆周:我们取 V1 为单位切向量场,比如都指向逆时针方向。n环面也可以平行化,因为可以看作是圆周的笛卡尔积。譬如取 n=2,将正方形坐标纸的对边粘贴起来便组成了一个环面,取每个点的两个切方向即可。更一般地,任何李群 G 可平行化,因为在单位元的切空间上一组基可以通过变换群 GG 上的作用移到任何一点。(任何变换是一个微分同胚从而这些微分同胚诱导了 G 上点的切空间的一个线性同构。)

一个经典问题是确定一个球面 Sn 是否可平行化。S1 即为圆周,可以平行化已经解释了。毛球定理指出 S2 n 不能平行化。但是 S3 可以平行化,因为它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S7;1958年被 Michel Kervaire 证明,拉乌尔·博特约翰·米尔诺也独立地得到了这个结论。

  • 术语标架流形(或装备流形)通常用于给定了一个法丛的平凡化的嵌入流形。