四平方和定理 (英语:Lagrange's four-square theorem) 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。
历史
根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数
和
能表示为4个整数的平方和,则其乘积
也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
- 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p,同余方程
必有一组整数解x,y满足
,
(引理一)
至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。
证明
根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理,可知只需证明素数可以表示成四个整数的平方和即可。
,因此只需证明奇素数可以表示成四个整数的平方和。
根据引理一,奇素数
必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中,必存在一个最小的。设该数为
。又从引理一可知
。
证明
不会是偶数
设
是偶数,且
。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设
的奇偶性相同,
的奇偶性相同,
均为偶数,可得出公式:
,与
是最小的正整数使得的假设
可以表示成四个整数的平方和不符。
证明 ![{\displaystyle m_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02899090a3aa3cefc71fbd399a6fc374e3a57253)
现在用反证法证明
。设
。
不可整除
的最大公约数,否则
可整除
,则得
是
的约数,但
且p为素数,矛盾。
故存在不全为零、绝对值小于
(注意
是奇数在此的重要性)整数的
使得
。
![{\displaystyle 0<\sum y_{i}^{2}<4({\frac {1}{2}}m_{0})^{2}=m_{0}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7463118ccb938852dc4edcc449baa86e0b53cd3)
![{\displaystyle \sum y_{i}^{2}\equiv \sum x_{i}^{2}\equiv 0{\pmod {m_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eba49c86ef7aceca9050b91b6b6bba526035769)
可得
,其中
是正整数且小于
。
- 下面证明
可以表示成四个整数的平方和,从而推翻假设。
令
,根据四平方和恒等式可知
是
的倍数,令
,
![{\displaystyle \sum z_{i}^{2}=\sum y_{i}^{2}\times \sum x_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ec2885da71e8c01a2cfacad3ff826a268d83be)
![{\displaystyle m_{0}^{2}\sum t_{i}^{2}=m_{0}m_{1}m_{0}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2b385e34770bce660f7e83c2c54e274f7f1c0c)
![{\displaystyle \sum t_{i}^{2}=m_{1}p<m_{0}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9134f4db18a22fe9fb335f304a99ab4a9883dd3)
矛盾。
引理一的证明
将和为
的剩余两个一组的分开,可得出
组,分别为
。
将模
的二次剩余有
个,分别为
。
若
是模
的二次剩余,选取
使得
,则
,定理得证。
若
不属于模
的二次剩余,则剩下
组,分别为
,而模
的二次剩余仍有
个,由于
,根据抽屉原理,存在
。