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山边问题

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山边(Yamabe)问题微分几何的问题,得名自山边英彦。虽然山边英彦在1960年初宣称得到解答,他的证明中一个关键错误在1968年被尼尔·特鲁丁格发现,而山边英彦已在1960年底逝世。后来陆续由尼尔·特鲁丁格蒂埃里·奥班理查德·舍恩研究,山边问题在1984年得到完全解决。

问题

给出维数光滑紧致流形黎曼度量,是否必然存在共形于的度量,使得数量曲率为常数?换言之,上是否存在光滑函数,使得 常数量曲率

现已知道确有如此度量,证明使用了微分几何偏微分方程泛函分析的技巧。

非紧致情形

推广到非紧致流形上的山边问题是:在非紧致的光滑完备黎曼流形,是否必然存在共形度量,使数量曲率为常数,且流形仍为完备?这问题的答案为否,Jin Zhiren发现其反例。

参考