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爱因斯坦-嘉当理论

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爱因斯坦-嘉当理论(英语:Einstein-Cartan theory)是理论物理学中将广义相对论延伸以正确处理自旋角动量。此理论以物理学家阿尔伯特·爱因斯坦以及埃利·嘉当Élie Cartan)为名。

作为经典物理中的主要理论,广义相对论却有一个缺点:其无法描述“自旋轨道耦合”(spin-orbit coupling),亦即内禀角动量intrinsic angular momentum)(自旋)与轨道角动量orbital angular momentum)间的交换。存在有定量的理论证明,其显示:当物体具有自旋性质时,广义相对论必须要扩充成爱因斯坦-嘉当理论。

实验上的效应由于太小,目前尚无法观测得到。

历史

该理论最早由埃利·嘉当(Élie Cartan)于 1922 年提出,并在随后的几年中得到了阐述。阿尔伯特爱因斯坦于 1928 年开始加入该理论,当时他试图将挠率与电磁场张量匹配作为统一场论的一部分,但没有成功。这一思路引导他得出了相关但不同的远程并行理论。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世纪60年代独立地重新审视了该理论,并于1976年发表了一篇重要评论。

爱因斯坦-嘉当理论在历史上一直被无扭转理论和布兰斯-迪克理论等其他替代理论所掩盖,因为扭转似乎以牺牲方程的易处理性为代价,几乎没有增加预测的好处。由于爱因斯坦-嘉当理论是纯粹经典的,它也没有完全解决量子引力问题。在爱因斯坦-嘉当理论中,狄拉克方程变得非线性。最近,人们对爱因斯坦-嘉当理论的兴趣已经转向宇宙学意义,最重要的是,避免了宇宙开始时的引力奇点。该理论被认为是可行的,并且仍然是物理学界的活跃话题。

该理论间接影响了圈量子引力(并且似乎也影响了扭量理论)。

动机

广义相对论无法描述自旋轨道耦合的理由根源于黎曼几何,而广义相对论是建构于其上。在黎曼几何中,里奇曲率张量(Ricci curvature tensor)必须是ab对称的(亦即,)。因此爱因斯坦曲率张量(Einstein curvature tensor)定义为

也必须是对称的。在广义相对论中,爱因斯坦曲率张量为局域重力建构了模型,且其(透过重力常数的联系)等同于应力-能量张量能量-动量张量(此处我们将能量-动量张量表示为P,是因为广义相对论中常用来表示能量-动量张量的T在爱因斯坦-嘉当理论留给仿射扭率(affine torsion)。)爱因斯坦曲率张量的对称性强迫动量张量必须是对称的。然而,当自旋与轨道角动量进行交换时,根据角动量守恒的广义式,则知动量张量为不对称的。

自旋流英语spin current(spin current)之散度——

细节请参考自旋张量英语spin tensor(spin tensor)条目。

因此广义相对论无法适当地为自旋轨道耦合建构模型。

于1922年,埃利·嘉当提出猜想认为广义相对论应该被延伸成包括仿射扭率(affine torsion),其允许里奇张量可以是不对称的。虽然自旋-轨道耦合是重力物理学中相对次要的现象,爱因斯坦–嘉当理论则相当重要,因为

(1) 其显示出仿射理论,而非度规理论,对于重力能提供更好的描述;
(2) 其解释仿射扭率的意义,在一些量子引力理论中自然出现;
(3) 其将自旋诠释为仿射扭率,在几何意义上是时空介质(spacetime medium)之位错场(field of dislocations)的一项连续近似。

将黎曼几何扩充以包含了仿射扭率则称为黎曼-嘉当几何(Riemann–Cartan geometry)。

几何与表示式

时空物理学的数学基础是仿射微分几何(affine differential geometry),其中我们赋予n维微分流形M 一项沿着M上路径对矢量作平行移动的定律。(一微分流形的每个点,我们都有切矢量所组成的一个线性空间,不过我们无法将矢量移动到其他点,或是去比较M上位于不同两点上的矢量。)平行移动保存了矢量间的线性关系;也就是说,若两矢量 在M上同一点,沿着一曲线被平行移动成为矢量 ,则两者的线性组合

+

也平行移动为

+

仿射微分几何中的平行性(Parallelism)是路径相依(path-dependent)的;也就是说,如果沿着同起点与同终点之两相异路径平行移动一矢量,在终点所得的结果矢量一般来说是相异的。这样的差异本质上即为曲率的影响,而曲率在微分几何中是个中心概念。

爱因斯坦-嘉当引力理论简介

用标架场重写爱因斯坦引力理论

用标架场 代替度规场 ,我们可以得到用标架场 (仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换)表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为:

  • (1)引力场运动方程第一形式:
  • (2)引力场运动方程第二形式:

其中:

时,由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程:

爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾

考虑电子与引力的作用时,我们需要引入标架仿射联络 。在黎曼时空中,存在关系式: ,标架场与标架仿射联络不独立。 因此,黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为:

(1)电子场运动方程:

(2)电磁场运动方程:

(3)引力场运动方程:

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为:

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为:

上述结果表明,从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

有挠时空引力理论(爱因斯坦-嘉当理论)

在有挠时空中,标架场 与标架仿射联络 是独立的,标架场 描述时空的弯曲,标架仿射联络 描述时空的扭曲,并且有:

有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场,因此简化形式的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场的运动方程:

(1)电子场运动方程:

(2)电磁场运动方程:

(3)自旋场运动方程:

(4)引力场运动方程:

a. 第一形式:

b. 第二形式:

可以证明上述运动方程是相容的,因此有挠时空的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

应用

  • 解释宇宙加速膨胀
  • 解释先锋异常
  • 解释星系转动曲线
  • 预言带电物体周围的引力异常
  • 预言日月食的引力异常

参见

参考文献